2024-2025学年山西省部分学校高三（上）质检数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年山西省部分学校高三（上）质检数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，且，则( )
A. B. C. D.
3.命题“，的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.在平行四边形中，，则( )
A. B. C. D.
5.如果随机变量，且，则( )
A. B. C. D.
6.已知，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知数列满足，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知，设函数，若在上恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则函数的图象可能是( )
A. B. C. D.
10.已知函数，且，则下列结论正确的是( )
A.
B. 在区间上单调递增
C. 若，为方程的两个解，则的最小值为
D. 若关于的方程在区间上有且仅有一个解，则的取值范围为
11.已知函数的定义域为，设，若和均为奇函数，则( )
A. B. 为奇函数
C. 的一个周期为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.将一个底面半径为，高为的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积与圆柱的侧面积之比为______．
13.设，若，则 ______．
14.设，是正实数，若椭圆与直线交于点，，点为的中点，直线为原点的斜率为，又，则椭圆的方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，，．
求证：平面；
求直线与平面所成的角的正弦值．
16.本小题分
已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，点为的图象的一个对称中心．
求的解析式；
将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在区间上的最大值和最小值互为相反数，求的最小值．
17.本小题分
已知函数是且的反函数，且函数．
若，，，求及的值；
若函数在上有最小值，最大值，求的值．
18.本小题分
在中，已知．
求；
记为的重心，过的直线分别交边，于，两点，设．
求的值；
若，求和周长之比的最小值．
19.本小题分
已知函数．
当时，求的极值；
若存在两个极值点，
求的取值范围；
证明：．
参考答案
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15.解：证明：侧面为正方形，，
直三棱柱，，
，，，，平面，
平面，
平面，平面，
，
，，，，平面，
平面；
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
又由，
设平面的一个法向量为，
则，即
，即令，则，，于是，
又由，
设直线与平面所成的角为，
，
故直线与平面所成的角的正弦值为．
16.解：设的最小正周期为，则，，
根据为的图象的一个对称中心，可得，
所以，结合，解得，函数表达式为；
根据题意，，
当时，，
当时，的最大值为，最小值为，不符题意；
当时，的最大值为，可知的最小值为，所以，解得．
综上所述，，即实数的最小值为．
17.解：函数是且的反函数，则，
，
所以，则，
又，，所以，，
所以．
令，由单调性可知，在上的值域为或，
由于在上最小值为，最大值为，
考虑，解出或，考虑，则，因此的取值范围为，
若，则；若，则，
综上所述，或．
18.解：因为在中，，
所以，
又，
所以；
设为的中点，则，
又因为，
所以，
因为，，三点共线，
所以，
所以；
设的边长为，设与周长分别为，，
则，
，
所以，
所以，
由，可得当且仅当时等号成立，所以，
所以，
所以和的周长之比的最小值为．
19.解：因为当时，，所以，
当单调递增，
当单调递减，
因此为的极小值点，，
因此的极小值为，无极大值；
，
令，所以有两个零点，
那么，
因此当单调递增，
当单调递减，
所以的最小值为，且，所以，
当时，，如果，那么，此时在无零点，
所以，
因此；
根据可知，，且，
因此，
令，那么其导函数，
由于，那么，单调递减，
，因此，因此．
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