2024-2025学年山西省晋中市部分校高三（上）质检数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年山西省晋中市部分校高三（上）质检数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则的真子集的个数为( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3.已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
4.已知函数，若的图象在处的切线方程为，则( )
A. B. C. D.
5.在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角的大小为( )
A. B. C. D.
6.记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知，，且，则的最小值为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数的定义域为，若对于任意的，，都有，当时，都有，且，则函数在区间上的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的是( )
A. 命题：，的否定为，
B. 已知扇形的圆心角为弧度，面积为，则扇形的弧长等于
C. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为
D. 已知函数的值域为，则的取值范围是
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 是函数的周期 B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在区间上单调递减 D. 当时，
11.已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，且，令，则下列说法正确的是( )
A. 函数是奇函数 B.
C. 函数的图象关于点对称 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的值为______．
13.已知，，则 ______．
14.已知点，，定义为，的“镜像距离”，若点，在曲线上，则，的“镜像距离”的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
若：，：，且是的必要不充分条件，求的取值范围；
若函数的定义域为，且，求的取值范围．
16.本小题分
已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且．
求的值，并求出的解析式；
若在上恒成立，求的取值范围．
17.本小题分
已知函数
若，，求的值；
将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，再将函数图象上各点的横坐标变为原来的纵坐标不变，得到函数的图象，若在区间上没有零点，求的取值范围．
18.本小题分
在中，点是边上一点，且，
若，，且，求的值；
若，且，求面积的最小值；
若，，且的面积为，求的值．
19.本小题分
已知函数．
若函数在定义域上单调递增，求的取值范围；
若；求证：；
设，是函数的两个极值点，求证：．
参考答案
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15.解：由可得，
解得，则，
解不等式，解得，
所以，
因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，
所以且等号不同时成立，
解得，即的取值范围是．
因为，所以在上有解，
所以，
令，则，
所以，即的取值范围是．
16.解：因为是偶函数，所以，
解得，
当时，可得，所以，
所以函数的解析式为；
由知，当时，，
因为在上恒成立，
所以，
又因为，
当且仅当时，即，
即，即，
即时等号成立，
所以，即的取值范围是．
17.解：由题意知，
因为，
所以，令，则，，
因为，所以，
由，得，所以，
所以．
将函数的图象向右平移个单位长度，得到，
将函数图象上各点的横坐标变为原来的纵坐标不变，
得到函数．
令，得，解得，
又在区间上没有零点，所以，
解得，，又，
所以当时，；当时，，
即的取值范围是．
18.解：由题意知，如图所示：
所以，
又，
所以，由正弦定理，得，
所以，
所以；
设，，因为，
所以，
即，
所以，所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的面积，
即面积的最小值为；
设，，
则，，，
在中，由正弦定理，得，
所以，
在中，，即，
所以，所以，
所以，所以，
又，，解得，，
所以，，
所以，
又，，所以，
所以，解得，所以，
在中，由余弦定理，
得，
解得或，
又，所以．
19.解：由题意知函数的定义域为，
在上恒成立，
在上恒成立，
又，当且仅当时，等号成立，
，即的取值范围是．
证明：若，，，
令，解得，
令，解得；令，解得．
在上单调递增，在上单调递减，
，当且仅当时，等号成立．
令，，，
令，解得，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，当且仅当时，等号成立，
，又等号不同时成立，
．
证明：由题意可知，
有两个极值点，，
，是方程的两个不同的根，
则且，，
，
要证，即证，
即证，即证，即证．
令，则证明，
令，则，
在上单调递增，则，即，
不等式成立．
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