2024-2025学年山西省大同一中高三（上）第二次月考数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年山西省大同一中高三（上）第二次月考
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. ， D. ，
2.命题：，的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.设为等差数列的前项和，若，则( )
A. B. C. D.
4.函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有，则( )
A. B. C. D.
5.若函数在处有极大值，则实数的值为( )
A. B. 或 C. D.
6.在中，，，，若满足条件的有两个，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.设函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A. B. C. D.
8.设函数，若在上单调递增，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值可以是( )
A. B. C. D.
10.是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，则( )
A. B.
C. D.
11.已知函数，则( )
A. 是的极小值点
B. 的图象关于点对称
C. 有个零点
D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在等比数列中，，，则 ．
13.函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为______．
14.已知，则的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知函数，直线是函数的图象的一条对称轴．
求函数的最小正周期和单调递增区间；
若，求函数的值域．
16.设函数
讨论的单调性；
求在区间的最大值和最小值．
17.在中，角的对边分别为已知：．
求；
若外接圆的周长为，求周长的取值范围．
18.已知函数，．
若，求函数在处的切线方程；
若关于的不等式对所有成立，求的取值范围
19.已知函数，其中为自然对数的底数．
当时，求的单调区间；
若方程有两个不同的根．
求的取值范围；
证明：．
参考答案
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14.
15.解：根据题意可得，，
所以，，
又，
所以，
所以函数的最小正周期为，
因为，
令，，
所以，，
所以函数的单调递增区间为，．
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以函数的值域为．
16.解：的定义域为
当时，；
当时，；
当时，
从而，在区间，上单调递增，在区间上单调递减
由知在区间的最小值为
又
所以在区间的最大值为．
17.解：因为，
由正弦定理得：
，
因为，所以，
因为，所以．
因为外接圆的周长为，
所以外接圆的直径为．
由正弦定理得：
，则，
由余弦定理得：
，
所以，
所以，即，
当且仅当时，等号成立．
又因为，
所以，
则：．
故周长的取值范围为．

18.解：当时，，
，
由导数的几何意义可得切线斜率，
则切线方程是，即．
令，则，
若，则在时恒成立，函数在上单调递减，
则对所有，，不满足题意；
若，则，由，得；
由，得，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
(ⅰ)若，则，即，
函数在上单调递减，
当时，，不满足题意；
(ⅱ)若，则，即，函数在上单调递增，
则对所有，，符合题意，
的取值范围是．
19.解：由题意得，，则，
由，解得，
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以在区间内单调递增，在区间内单调递减；
由，得，设，
由得在区间内单调递增，在区间内单调递减，
又，当时，，且当时，，
所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根，
故的取值范围是；
证明：不妨设，则，且，
法一：当时，结合知，即；
当时，，
设
则
所以在区间内单调递增，
则，即，
所以
又在区间内单调递减，
所以，即，
又，所以，
故，所以，得证；
法二：设，，
则，
所以在区间内单调递增，又，
所以，即，
又，所以，
又在区间内单调递减，
所以，即，
又，所以，得证．

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