2024-2025学年吉林省长春市东北师大附中高三（上）第一次摸底数学试卷（含答案）

2024-2025学年吉林省东北师大附中高三（上）第一次摸底数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.已知角的终边经过点，则( )
A. B. C. D.
4.若函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
5.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是( )
A. 函数有两个零点
B. 当时，
C. 的解集是
D. ，，使得
6.定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
7.已知，，，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
8.若关于不等式恒成立，则当时，的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
10.已知，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 若，
11.定义在上的偶函数，满足，当时，，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 函数的所有零点之和为
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知某扇形的圆心角为，弧长为，则此扇形的面积为______．
13.已知函数，，则实数的值为______．
14.对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”若函数在定义域上为“局部奇函数”，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足：，，数列为单调递增等比数列，，且，，成等差数列．
求数列，的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
当时，求函数的最大值与最小值．
17.本小题分
师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量单位：千克与投入的成本单位：元满足如下关系：已知这种水果的市场售价为元千克，且供不应求水果树单株获得的利润为单位：元．
求的函数关系式；
当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大？最大利润是多少？
18.本小题分
已知函数，．
当时，求函数的单调区间与极值；
若函数有个不同的零点，，满足，求的取值范围．
19.本小题分
对于数列，若，对任意的，有，则称数列是有界的当正整数无限大时，若无限接近于常数，则称常数是数列的极限，或称数列收敛于，记为，单调收敛原理：“单调有界数列一定收敛”可以帮助我们解决数列的收敛性问题．
证明：对任意的，，恒成立；
已知数列，的通项公式为：，，．
判断数列，的单调性与有界性，并证明；
事实上，常数，以为底的对数称为自然对数，记为证明：对任意的，恒成立．
参考答案
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15.解：由，，可得数列是首项为，公差为的等差数列，
则；
数列为单调递增等比数列，设公比为，，且，，成等差数列，
可得，，即，解得，舍去，
则；
，
则数列的前项和．
16.解：函数，，
，
，
曲线在点处的切线方程为，化为；
，
令，则在单调递增，
又，，
存在唯一，使得，．
函数在上单调递减，在上单调递增．
函数在时取得极小值即最小值，．
又，．
．
时，函数取得最大值．
综上可得：函数的最小值为，最大值为．
17.解：由题意可知：；
由可知：，
若，则，可知其图象开口向上，对称轴为，
此时的最大值为；
若，则，
当且仅当，即时，等号成立，
此时的最大值为；
又因为，可知的最大值为，
所以当投入成本为元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是元．
18.解：当时，，其定义域为，
，
所以显然当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增；
所以有极小值，无极大值；
综上所述，单调递减区间为；单调递增区间为；有极小值，无极大值．
，令，
因为，所以在单调递增，则，
令，即在有个零点，，且，，
因为，
当时，，在单调递增，不存在个零点，
所以，
当时，，
当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
则，
令，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
则，所以恒成立，即恒成立，
因此，
，
因为时，，且，
，
因为时，，且，
，
因为时，，且，
所以当，即时，函数有个不同的零点，
又，即，，，等价于，
设，，
当时，；当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，则，
由题意得：．
当，即时，恒成立；
当，即时，有，
令，，
由，即，可得，
所以，
综上，，
因此，．
19.解：证明：当时，不等式显然成立，
同样时，显然成立，
当时，设，且，
则，
当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
所以时，，
即，
综上，对任意的，，恒成立；
是递增数列，是有界的；是递减数列，也是有界的，证明如下：
，
方法一：
，
，
比较对应项可得，
所以是递增数列；
方法二：单调性的另证：
，
由知，
所以，即，
又由上面展开式知，
又，
所以，
所以是有界的；
，时，
，
由得，
所以，即，
所以是递减数列，
因此，
又，所以，
所以是有界的；
由知，，
即，
取自然对数，得，
所以，，
即，
令，，，
并相加，得，
即．
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