2024-2025学年福建省龙岩市连城一中高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年福建省龙岩市连城一中高三（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.已知函数为上的奇函数，则的值为( )
A. B. C. D.
3.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述，在该模型中，人体内药物含量单位：与给药时间单位：近似满足函数关系式，其中，分别称为给药速率和药物消除速率单位：经测试发现，当时，，则该药物的消除速率的值约为
A. B. C. D.
6.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.已知函数，则下列命题正确的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 直线是图象的一条对称轴
C. 函数在区间上单调递减
D. 将的图象向左平移个单位长度后得到的的图象
8.已知函数的图象关于轴对称，且当时有成立，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，，，则的最小值为
10.已知，函数，则( )
A. 对任意，总存在零点
B. 当时，是的极值点
C. 当时，曲线与轴相切
D. 对任意，在区间上单调递增
11.已知函数是奇函数，是的导函数，，且满足，则下列说法正确的是( )
A. B. 函数为偶函数
C. D. 函数的周期为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数在处的切线方程为______．
13.定义在上的函数满足，且在上单调递减，则不等式的解集为 ．
14.已知，函数恒成立，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知中，角，，所对的边分别为，，，其中．
求的值；
若的面积为，周长为，求的外接圆面积．
16.本小题分
某农场收获的苹果按，，三个苹果等级进行装箱，已知苹果的箱数非常多，且，，三个等级苹果的箱数之比为：：
现从这批苹果中随机选出箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到箱级苹果的概率；
若用分层随机抽样的方法从该农场收获的，，三个等级苹果中选取箱苹果，假设某游客要从这箱苹果中随机购买箱，记购买的级苹果有箱，求的分布列与数学期望．
17.本小题分
如图，平面，，，，，．
求证：平面；
若二面角的余弦值为，求线段的长．
18.本小题分
已知函数．
若关于的不等式的解集为，求函数的最小值；
是否存在实数，使得对任意，存在，不等式成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
19.本小题分
定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数已知函数
当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由
是否存在使的极值差比系数为若存在，求出的值若不存在，请说明理由
若，求的极值差比系数的取值范围．
参考答案
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15.解：由正弦定理得，
因为，，故，则，
因为，故．
由题意，故．
由余弦定理得，
解得故的外接圆半径，
故所求外接圆面积．
16.解：设事件“至少选到箱级苹果”，
由题意知选到箱级苹果的概率为，选到箱非级苹果的概率为，
所以，
故至少选到箱级苹果的概率为；
因为用分层随机抽样的方法从该农场收获的，，三个等级苹果中选取箱苹果，
所以级苹果有箱，，级苹果共有箱，
随机变量的所有可能取值为，，，，
则，
，
，
所以的分布列为：
所以．
17.解：由题意建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
设，则，
是平面的法向量，
又，，则，
又平面，则平面；
设为平面的法向量，
则，即，取，则，，
，
设为平面的法向量，
则，即，取，则，，
，
又二面角的余弦值为，
则，解得，
故线段的长为．
18.解：因为不等式，等价于，
由不等式的解集为知，
和是方程的两根，
由根与系数的关系知，，
所以；
又因为，所以，所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为．
假设存在实数，使得对任意，存在，不等式成立，
所以；
当时，，
所以．
所以在成立，
记，其中，其对称轴为，
当，即时，；
令，解得，所以的值不存在，即；
当，即时，；
令，解得，所以的值也不存在，即；
综上所述，不存在实数，使得对任意，存在，不等式成立．
19.解：当时，，
所以，
当时，，当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，极小值为，
所以，
因此是极值可差比函数．
的定义域为，，即，
假设存在，使得的极值差比系数为，
则，是方程的两个不等正实根，
解得，
不妨设，则，
由于
，
所以，从而，
得，，
令，，
所以在上单调递增，有，
因此式无解，即不存在使的极值差比系数为．
由知极值差比系数为，即，
不妨设，令，，极值差比系数可化为，
，
又，解得，
令，，
设，，
所以在上单调递减，
当时，，
从而，所以在上单调递增，
所以，即
故的极值差比系数的取值范围为．
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