2024-2025学年甘肃省白银八中高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年甘肃省白银八中高三（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知函数，，则“”是“函数在上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.记，为随机事件，已知，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数，若，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.已知，为正实数，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
7.某校开设美术、书法、篮球、足球和象棋兴趣班已知该校的学生小明和小华每人报名参加其中的两种兴趣班，且小明至少参加一种球类的兴趣班，则小明和小华至少参加同一个兴趣班的概率是( )
A. B. C. D.
8.已知：，，，那么，，三者的关系是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.暑假结束后，为了解假期中学生锻炼身体情况，学生处对所有在校学生做问卷调查，并随机抽取了人的调查问卷，其中男生比女生少人，并将调查结果绘制得到等高堆积条形图已知，其中，附：
在被调查者中，下列说法正确的是( )
A. 男生中不经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多
B. 男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人多人
C. 经常锻炼者中男生的频率小于不经常锻炼者中男生的频率的倍
D. 根据小概率值的独立性检验，可以认为假期是否经常锻炼与性别有关
10.下列命题正确的是( )
A. 命题“对任意，”的否定是“存在，使得”
B. “”的充分不必要条件是“”
C. 设，则“且”是“”的充分不必要条件
D. 设，则“”是“”的充分不必要条件
11.已知函数，则( )
A. 若曲线在处的切线方程为，则
B. 若，则函数的单调递增区间为
C. 若，则函数在区间上的最小值为
D. 若，，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是______．
13.二项式的展开式中的常数项为______．
14.“，”为真命题，请写出一个满足条件的实数的值 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
讨论函数的单调性．
16.本小题分
某网游经销商在甲地区个位置对“电信”和“网通”两种类型的网络在相同条件下进行游戏掉线次数测试，得到数据如表：
电信
网通
如果在测试中掉线次数超过次，则网络状况为“糟糕”，否则为“良好”，根据小概率值的独立性检验，能否说明游戏的网络状况与网络的类型有关？
若该游戏经销商要在上述接受测试电信的个地区中任选个作为游戏推广，求，两个地区同时被选到的概率；
在的条件下，以表示选中的掉线次数超过次的位置的个数，求随机变量的分布列及数学期望．
附：，其中．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，为的中点，平面．
求证：；
若，．
求证：平面；
设平面平面，求二面角的正弦值．
18.本小题分
某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图如图所示解决下列问题：
频率分布表：
组别 分组 频数 频率
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
第六组 合计
写出，，，的值；
若根据这次成绩，学校准备淘汰的同学，仅留的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？
某老师在此次考试成绩中抽取了名学生的分数：，，，，，已知这个分数的平均数，标准差，若剔除其中的和两个分数，求剩余个分数的平均数与标准差．
附：方差计算公式：或
19.本小题分
已知函数 ，．
求的极值；
讨论的单调性；
若存在两个极值点，，讨论和的大小关系．
参考答案
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15.解：函数 ，求导得，则，而，
所以曲线在点处的切线方程为．
由知，，
当时，对恒成立，则在上单调递增；
当时，令，即，则，
当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
16.解：根据题意列出列联表如下：
糟糕 良好 合计
电信
网通
合计
零假设：游戏的网络状况与网络类型无关，
则，
所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据说明不成立，即不能说明游戏的网络状况与网络的类型有关；
依题意，所求概率；
由题意可知，随机变量的所有可能取值为，，，
则，，，
故的分布列为：
所以．
17.解：证明：
取的中点，连接，
因为为的中点，
所以，，
因为，所以，
所以四点共面，
因为平面，平面平面，平面，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，故；
取的中点，连接，
由知，所以，
因为，
所以四边形是平行四边形，
所以，
所以，
所以，即，
因为，所以，
因为，
所以与全等，
所以，即，
又，，、平面，
所以平面；
由知平面，
而平面，
所以，
因为，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，
所以，
，，
设平面的法向量为，
则
令，则，
故平面的一个法向量为，
因为为平面的法向量，
设二面角为，由图可得，
所以，
所以二面角的余弦值为，
则二面角的正弦值为．

18.解：根据分组在的频数是，频率是，
样本容量为，
频率分布表为：
组别 分组 频数 频率
第组
第组
第组
第组
第组
合计
，，，．
由频率分布表得的频率为：，
的频率为，
根据这次成绩，学校准备淘汰的同学，仅留的同学进入下一轮竞赛，
晋级分数线为：．
由题意剩余的个分数的平均值为，
个分数的标准差为，
剩余个分数的标准差为．
19.解：
，时，时，
在上单调递减，在上单调递增，
在处取到极小值，没有极大值．
情形一： 若，可得恒成立，且，
时，，故在单调递减；
时，，故在单调递增；
情形二： 若，，则，
在单调递增；
情形三： 若，令，
解得或，
又由知当时，可得，
时，，故在单调递减；
和时，，
故在和单调递增．
综上所述，若，时，单调递减，
时，单调递增；
若，，在单调递增；
若，时，单调递减，
和时，单调递增．
由知，只能是，，
由，则，解得且，
又当时，，，由在上单调递减可知；
当时，，，由在上单调递增可知．
综上所述，时，；时，．

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