课件22张PPT。24.2圆的基本性质（1）义务教育教科书（沪科）九年级数学下册
第24章 圆圆心决定圆的位置半径决定圆的大小知识回顾对于圆，你已经有了初步的认识， “一切立体图形中最美的是球，一切平面图形中最美的是圆”。这是古希腊的数学家毕达哥拉斯一句话。
圆也是一种和谐、美丽的图形，无论从哪个角度看，它都具有同一形状。情境引入 圆是生活中常见的图形，许多物体都
给我们以圆的形象，如…………那么
1.圆有哪些性质？
2.为什么车轮做成圆形？
3.怎样设计一个运动场的跑道？
4.怎样计算蒙古包的用料？
在这一章，我们将进一步认识圆，用图形变换等方法研究它，并用圆的知识解决一些实际问题。自主预习用圆规或手中的棉线和铅笔画圆．1.定好半径长（即圆规两脚间的距离）。
2.固定圆心（即把有针尖的脚固定在一点）。
3.旋转一圈（使铅笔心在纸上画出封闭曲线）。
4.用字母表示圆心、半径、直径。新知探究圆的定义 2.在一个平面内,线段OP绕着它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点P所形成的封闭曲线叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OP（=r）叫做半径，以O为圆心的圆记作“⊙o”，读作“圆O”3. 圆上任意一点到圆心的距离相等吗？
反过来，平面内到点O的距离等于线段OA的长的点都在圆上吗？(2) 到定点的距离都等于定长的点都在同一个圆上.(1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)。3. 圆上任意一点到圆心的距离相等吗？
反过来，平面内到点O的距离等于线段OA的长的点都在圆上吗？（3）因此，圆可以被看成：平面内到定点（圆心O）的距离等于定长（半径）的所有点组成的图形。o?同一个圆内，半径有无数条，长度都相等。凡直径都是弦,是圆中最长的弦,但弦不一定是直径.直径弦弦、直径、半径同圆中，（1）半径相等；
（2）直径等于半径的2倍。圆弧:连接圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.以A、B为端点的弧记作 AB ，读作：“圆弧AB”或“弧AB”。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧叫做半圆.弧、弓形 大于半圆的弧（用三个点表示，
如： 或 ），叫做优弧；小于半圆的弧叫做劣弧. 如:等弧:在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.长度相等的弧是等弧吗？OABC.D弓形弓形：由弦及其所对弧组成的图形叫做弓形。例1.如图，AB、CD是⊙O的直径。
求证：AD∥CD.OACPHGFE如图(1)直径是_______;
(2)弦是_____________;
(3) PQ是直径吗?______;
(4)线段EF、GH是弦吗？
_______.KABCD、DK、AB不是不是DB随堂练习●OBCA 1.如图,弧有:______________2 .劣弧有：优弧有：你知道优弧与劣弧的区别么？判断：半圆是弧，但弧不一定是半圆.( )一点和⊙O上的最近点距离为4cm,最远距离为
10cm,则这个圆的半径是______cm.
2.如图点A、D、G、M在半圆O上,四边形ABOC、DEOF、AMNO均为矩形,设BC=a,EF=b,NH=c,则a,b,c的大小关系。7或3第2题3.如图，若AD，BE都是△ABC的高。讨论A、B、D、E四点在同一个圆上吗？O 1.圆心和半径是构成圆的两个重要元素，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，只有当给出圆心和半径这两个要素之后，才能够确定一个圆。2.圆是指“圆周”，是曲线，而不是“圆面”。3.同一个圆的半径处处相等。知识梳理知识梳理4.凡直径都是弦,是圆中最长的弦,但弦不一定是直径.5.同圆中，（1）半径相等；
（2）直径等于半径的2倍。6.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.7.由弦及其所对弧组成的图形叫做弓形。课件24张PPT。24.2 圆的基本性质（2）义务教育教科书（沪科）九年级数学下册
第24章 圆 你学过的具有对称性的图形有哪些？知识回顾 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：
圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线． 实践探究情境引入1.圆是轴对称图形吗？你是用什么方法解决这个问题的?圆是轴对称图形.其对称轴是任意一条过圆心的直线.如果是,它的对称轴是什么?用折叠的方法即可解决这个问题.你能找到多少条对称轴?自主预习?
操作：CD是圆0的直径，过直径上任一点E作弦AB⊥CD，将圆0沿CD对折，比较图中的线段和弧，你有什么发现？猜想：新知探究则OA=OB.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,∵CD⊥AB于M证明：已知：CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，且CD⊥AB于M，
求证：AM=BM， AC =BC, AD =BD⌒⌒⌒⌒叠 合 法连接OA,OB， 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。题设结论垂径定理错判断题： (1)过圆心的直线平分弦
(2)垂直于弦的直线平分弦
(3)⊙O中，OE⊥弦AB于E，则AE=BE错对垂径定理BAOE几何语言表达：CD⊥AB, AB是⊙O的一条弦（非直径）,且AM=BM.你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.过点M作直径CD.下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?发现: CD是直径 AM=BM┗定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。下列图形是否具备垂径定理的条件？例2 如图，⊙O的半径是5cm，弦AB为6cm。
求圆心O到弦AB的距离。圆心到弦的距离角弦心距。例3 解决求赵州桥拱半径的问题 赵州桥建于1400年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形，桥的跨度（弧所对的弦长）为37.4m，弓高（弧的中点到弦的距离）为7.2m。求桥拱所在圆的半径（精确到0.1m）
例3 解决求赵州桥拱半径的问题解得：R≈27．9（m）在Rt△OAD中，由勾股定理，得即 R2=18.72+（R－7.2）2∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2计算如下1.在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为直径，则下列结论不正确的是（ ）2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD ⊥AB，垂足为M，OM=3，则CD= .3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径，若CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 . C813注意：解决有关弦的问题时,半径是常用的一种辅助线的添法．往往结合勾股定理计算。随堂练习?√?判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ）
⑵平分弦的直径一定垂直于这条弦. （ ）
(3)弦的垂直平分线一定经过圆心. （ ）判断下列说法的正误 ①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
必平分此弦所对的弧 证明：过O作OE⊥AB于E，在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作出“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只需从圆心作弦的垂线段。则 AE=BE,CE=DE∴AE－CE=BE－DE即AC=BD已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。
求证：AC=BD(1)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OA的夹角为 30 °,求弦 AB 的长.OAOCABM(2)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OC互相平分,交点为 M , 求 弦 AB 的长.630°EBE 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。E.ACDBO.ABO知识梳理·OABCDE垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理：推论：几何语言表述课件20张PPT。24.2圆的基本性质（3）义务教育教科书（沪科）九年级数学下册
第24章 圆1.圆对称图形吗?它具有怎样的对称性？2.垂径定理3.弦心距知识回顾圆是旋转对称图形吗?它的对称中心在哪里?·圆是旋转对称图形，它的对称中心是圆心.创设情境 圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.∠AOB为圆心角自主预习 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。①任意给圆心角，对应出现三个量：圆心角弧弦疑问：这三个量之间会有什么关系呢？新知探究 如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A1OB1的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？·OABA1B1∵ ∠AOB=∠A1OB1如图，⊙O与⊙O1是等圆，∠AOB =∠A1OB1=600，请问上述结论还成立吗？为什么?∵ ∠AOB=∠A1OB1 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等.∵ ∠AOB=∠A1OB1圆心角定理∟∟DD1∵OD⊥AB ,OD1⊥A1B1∴OD=OD1思考：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，你能得什么结论？在同圆或等圆中，如果两条弦相等呢？
同圆或等圆中，两个圆心角、两条圆心角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中如果有一组量相等，那么其余各组量都分别相等。等对等定理简记为：圆心角相等弧相等弦相等弦心距相等如图，AB、CD是⊙O的两条弦， OE⊥AB于E，
OF⊥CD于F， 。
（1）如果AB=CD，
那么__________ 。
（2）如果弧AB=弧CD，
那么 。
（3）如果∠AOB=∠COD，
那么 ___。
例4 如图1，等边△ABC的三个顶点都在⊙O上。
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°。证明：∵AB=BC=AC∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°= ×360°例5 已知：如图，点O是∠A平分线上的一 点，⊙O分别交∠A两边于点C、D、E、F。
求证：CD=EF提示:做辅助线，利用角平分线的性质证明。提示：连接OE。⌒⌒随堂练习1.如图6，AD=BC，那么比较AB与CD的大小.证明： ∵ BC=CD=DE
∴∠COB=∠COD=∠DOE=35°
∴∠AOE=1800-∠COB-∠COD-∠DOE
=750⌒⌒⌒3.如图4，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD=35°。
求∠AOE的度数。⌒4.如图，等边△ABC的三个顶点A、B、C都在⊙O上，连接OA、OB、OC，延长AO分别交BC于点P，交BC于点D，连接BD、CD.
（1）判断四边形BDCO的形状，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为r，求△ABC的边长1.四个元素：
圆心角、弦、弧、弦心距2.四个相等关系：(1) 圆心角相等(2) 弧相等(3) 弦相等知一得三知识梳理（4）弦心距相等课件22张PPT。24.2 圆的基本性质（4）义务教育教科书（沪科）九年级数学下册
第24章 圆1.过一点可以作几条直线？2.过几点可确定一条直线？过几点可以确定一个圆呢？知识回顾 一位考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时，发现一圆形瓷器碎片，你能帮助这位考古学家画出这个碎片所在的整圆，以便于进行深入的研究吗？ 要确定一个圆必须满足几个条件?情境引入经过两点只能作一条直线.●A●A●B经过一点可以作无数条直线；自主预习 经过一个已知点A能确定一个圆吗?A经过一个已知点能 作无数个圆。新知探究 经过两个已知点A、B能确定一个圆吗?AB 经过两个已知点A、B能作无数个圆 经过两个已知点A、B所作的圆的圆心在怎样的一条直线上? 它们的圆心都在线段AB的中垂线上。过已知点A,B作圆,可以作无数个圆.经过两点A,B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心,这点到A或B的距离为半径作圆.你准备如何(确定圆心,半径)作圆？其圆心的分布有什么特点?与线段AB有什么关系？A●●B那么过三点可以画几个圆呢？AB····C 经过三个已知点A，B，C能确定一个圆吗？ 假设经过A、B、C三点的⊙O存在（1）圆心O到A、B、C三点距离
（填“相等”或”不相等”）。（2）连接AB、AC，因为OA=OB,所以点O在边AB的 上；因为OA=OC,所以点O在边AC的 上。（3）AB、AC的中垂线的交点O就是该圆的 。NMFEABC相等垂直平分线垂直平分线圆心已知：不在同一直线上的三点A、B、C
求作： ⊙O使它经过点A、B、C作法：1.连接AB，作线段AB的垂直平分线MN；
2.连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；
3.以O为圆心，OB为半径作圆。所以⊙O就是所求作的圆。ONMFEABC不在同一直线上的三个点确定一个圆。现在你知道怎样将一个如图所示的破损圆盘复原吗？方法:
1.在圆弧上任取三点A、B、C。
2.作线段AB、BC的垂直平分线,其交点O即为圆心。
3.以点O为圆心，OC长为半径作圆。
⊙O即为所求。ABCO 经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。如图：⊙O是△ABC的外接圆， △ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心。 外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等。 一个圆的内接三角形有几个？
一个三角形的外接圆有几个？锐角三角形的外心位于三角形内.
直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点.
钝角三角形的外心位于三角形外. 分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系. ABC过如下三点能不能做一个圆? 为什么?不在同一直线上的三点确定一个圆证明：假设经过同一直线 l 的三个点能作出
一个圆，圆心为O．则O应在AB的垂直平分线L1上，
且O在BC的垂直平分线上L2上，L1⊥ LL2⊥ L所以l1、 l2同时垂直于l， 这与“过一点有且只有一条直线垂直于已知直线”矛盾，所以经过同一直线的三点不能作圆．反证法 假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾判定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．经过同一直线的三点不能作出一个圆．命题：假设：经过同一直线的三点能作出一个圆．矛盾：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线过一点有两条直线垂直于已知直线．定理：例如： 例
已知：两条直线AB、CD分别于直线EF平行，即AB∥EF,CD∥EF.
求证：AB∥CD用反证法完成下题。1.已知△ABC，用直尺和圆规作出过点A、B、C的圆ABCO））））））））随堂练习 2.某市要建一个圆形公园，要求公园刚好把动物园A，植物园B和人工湖C包括在内，又要使这个圆形的面积最小，请你给出这个公园的施工图。（A、B、C不在同一直线上）植物园动物园人工湖 3.图中工具的CD边所在直线恰好垂直平分AB边，怎样用这个工具找出任意一个圆的圆心呢？。C ·圆心4.如图，已知 Rt⊿ABC 中 ，
若 AC=12cm，BC=5cm，求的外接圆半径。 解：设Rt⊿ABC 的外接圆的用心为O，连接OB,OC,OA,则OA=OB=OC
所以O是斜边AB 的中点。∵∠C=900，AC=12cm，BC=5cm
∴解得AB=13cm，OA=6.5cm
故Rt⊿ABC 的外接圆半径为6.5cm。知识梳理1.不在同一直线上的三个点确定一个圆。2.经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。3.三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等。4.假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾判定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．
