课件18张PPT。24.3 圆周角（1）义务教育教科书（沪科）九年级数学下册
第24章 圆1.复习提问:(2)圆心角，弧，弦，弦心
距关系定理是什么？ (1)什么是圆心角？知识回顾 如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图,人们可以通过其中的圆弧形玻璃AB 观看窗内的海洋动物,同学甲站在圆心的O 位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（∠AOB 和∠ACB）有什么关系？如果同学丙、丁分别站在他靠墙的位置D和E，他们的视角（ ∠ADB 和∠AEB ）和同学乙的视角相同吗？情境引入1.∠ACB与 ∠AOB 有何异同点？自主预习2.你知道∠ACB这一类的角名字吗？ （1）∠ACB的顶点C在⊙O上，而 ∠AOB的顶点C在⊙O内。
（2）两个角的大小不同。 顶点在圆上，并且两边都与圆还另有一个交点的角叫做圆周角。 1.圆周角的概念 ： 一个角是圆周角的条件：
①顶点在圆上；
②两边都和圆相交。新知探究练习:指出下图中的圆周角.×√×××√·CABO分别量出图中 AB 所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你有什么发现？⌒2.圆周角定理 ·COAB即 ∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC．又 ∠AOB=∠OCB+∠OBC∴∠AOB=2∠OCB1.如图，在⊙O中，AC为直径， ∠AOB和∠ACB分别是 所对的圆心角和圆周角，你认为∠AOB 与∠ACB的大小具有什么关系？说出你的理由.·COABDD2.如图，在⊙O中，当 所对的圆心角∠AOB与圆周角∠ACB具有如图所示的两种位置关系时，它们是否还具有上述的数量关系？为什么？D（1）圆心在∠BCA的内部.作直径CD.由于∠AOD=2∠ACD∠BOD=2∠BCD，所以∠AOD+∠BOD=
2（∠ACD+∠BCD）即∠AOB=2 ∠ACB作直径CD.由于∠BOD= 2∠BCD∠AOD= 2∠ACD，所以∠BOD-∠AOD= 2（∠BCD-∠ACD）即∠AOB= 2∠ACB·OBDCA（2）圆心在∠BAC的外部.结论：圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. ∠ACB= ；
∠ADB= ；
∠ =∠ . 如图：则有如图同弧或等弧所对的圆周角相等；
相等的圆周角所对的弧也相等.·ABOC2.在同圆和等圆中，如果两个弧
相等，它们所对的圆周角一定
相等吗？为什么？反过来呢？推论1： 如图， △ABC内接于⊙O, 请思考当∠AOB为180°时, ∠ACB的度数是多少?从而你得到什么结论? 探索半圆或直径所对的圆周角的度数。 ·ABCO 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角; 90°的圆周角所对的弦是直径.∴ △AOC、△BOC都是等腰三角形∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB又 ∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝ 180° ∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝ ＝90° 因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、B），∠ACB总等于90° 证明：因为OA＝OB＝OC， 例1.如图,AB是O的直径,弦CD交AB于点P,∠ACD=60°,∠ADC=70°.求∠APC的度数.解:连接BC,则∠ACB=90°,∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝
90°－60°=30°.又∵∠BAD=∠DCB=30°,∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°.(1)一个概念（圆周角）
(2)一个定理：一条弧所对的圆周角等于
它所对圆心角的一半.(3)二个推论： 半圆或直径所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径. 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.知识梳理 思想方法：一种方法和一种思想. 在证明中，运用了数学中的分类方法和化归思想.分类时要做到不重不漏；化归思想是将复杂问题转化成一系列的简单问题或已证问题.课件20张PPT。24.3 圆周角（2）义务教育教科书（沪科）九年级数学下册
第24章 圆√√√××知识回顾回顾：圆周角定理及推论？
思考：判断正误：
1.同弧或等弧所对的圆周角相等（ ）
2.相等的圆周角所对的弧相等（ ）
3.90°角所对的弦是直径（ ）
4.直径所对的角等于90°（ ）
5.长等于半径的弦所对的圆周角等于30°（ ）·ABC1OC2C3定理与推论
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
半圆（或直径）所对的圆周角是直角;
90°的圆周角所对的弦是直径．
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等
内接外接 100° 50° 120° 60° 1.如图，△ABC叫⊙O的_____ 三角形，⊙O叫△ABC的 ____ 圆。
2. 若弧BC的度数为100°, 则∠BOC=_____ ,∠A=_____3.如图，四边形ABCD中,
∠B与∠1互补,AD的延长线与DC所夹∠2=60° ,
则∠1=_____,∠B=_____.120° 60° √1.如图，四边形ABCD中, ∠B与∠1互补,AD的延长线与DC所夹∠2=60° ,则∠1=_____,∠B=_____.
2. 判断:圆上任意两点之间分圆周为两条弧,这两条弧的度数和为360°( )情境引入自主预习 一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形； ⊙O为四边形ABCD的外接圆。O如图：
圆内接四边形ABCD中，∴∠A＋∠ C＝ 180°同理∠B＋∠D＝180°圆的内接四边形的对角互补。新知探究所以∠A＝∠DCE又 ∠A ＋∠BCD＝ 180°如果延长BC到E，那么∠DCE＋∠BCD ＝100°。12 因为∠A是与∠2相邻的内角∠1的对角，我们把∠A叫做∠DCE的内对角。 因此，圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。即∠A=∠2几何表达式：
∵ ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠B+∠D=180°
且∠A=∠2 .定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。解：设∠A、∠B、 ∠C的度数分别对于2x、3x、6x，例2 在圆内接四边形ABCD中， ∠A、∠B、 ∠C的度数之比是2︰3︰6。求这个四边形各角的度数。由于四边形ABCD内接于圆，∴ ∠A+ ∠C=∠B+∠D=180°∵2x+6x=180°∴x=22.5°∴ ∠A=45°， ∠B=67.5°， ∠C =135°
∠D=180°-67.5°=112.5°。1.四边形ABCD内接于⊙O，则
∠A+∠C=______
∠B+∠ADC=_______;
若∠B=80°，
则∠ADC=______ ，
∠CDE=_________。随堂练习180°180°100°80°2.四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=100°
则∠B=______
∠D=______ 3.四边形ABCD内接于⊙O, ∠A:∠C=1:3,
则∠A=_____,50°130°45°4.若ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选
项可能成立（ ）（A）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 1∶2∶3∶4 （B）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 2∶1∶3∶4 （C）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 3∶2∶1∶4 （D）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 4∶3∶2∶1B圆的内接梯形一定是＿＿＿＿＿梯形。 5.梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC, ∠B=75°,则∠C=_____75°等腰6.如图，四边形ABCD内接于⊙O,如果∠BOD=130°,则∠BCD的度数是（ ）
A 115° B 130°
C 65° D 50°
7.如图，等边三角形ABC内
接于⊙O，P是AB上的一点，
则∠APB= 。C120°8.圆内接梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=75°,
则∠C= °
9. 已知四边形ABCD内接于⊙O,且∠A:∠B:∠C =2:3:4，求∠D的度数.
10. 圆的内接四边形ＡＢＣＤ中,ＡＣ垂直平分ＢＤ,∠ＢＡＣ=40 °，则∠ＢＣＤ＝ °
11. 四边形ABCD内接于⊙O,BA、CD的延长线交于点P,AD=２cm,BC=３cm,ＰＡ＝４cm，
求ＰＣ的长.12.如图，四边形ABCD为⊙O 的内接四边形，已知∠BOD＝100°，求∠BAD及∠BCD的度数。知识梳理1.定义：
一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。2.定理：
圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
