2024-2025学年甘肃省兰州市西北师大附中高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年甘肃省兰州市西北师大附中高三（上）第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知：，：任意，，则是成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知为第三象限角，，则( )
A. B. C. D.
4.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.已知函数，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
6.已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.三次函数有如下性质：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是该函数图象的对称中心若直线过函数图象的对称中心，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知，若不是函数的极小值点，则下列选项符合的是( )
A. B. C. D.
9.已知，，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
10.下列说法正确的有( )
A. 函数的图象过定点
B. 已知函数，则对于，
C. 已知函数且在上是减函数，则实数的取值范围是
D. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是
11.若函数有两个极值点，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则有个零点
B. 过上任一点至少可作两条直线与相切
C. 若，则只有一个零点
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.已知函数，定义域为的函数满足，若函数与图象的交点为，，，，则 ______．
14.设其中为自然对数的底数，，若函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在锐角中，角，，，的对边分别为，，，从条件：，条件：，条件：这三个条件中选择一个作为已知条件．
求角的大小；
若，求周长的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若，求证：．
17.本小题分
人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为
若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；
已知，，，若，，求的值
18.本小题分
已知函数，若最小值为．
求实数的值；
设，证明：．
19.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若，，是的两个零点．
证明：； ．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：选条件：因为，所以，即，
又因为为锐角三角形，所以，
，所以；
选条件：因为，所以，所以，
又因为，所以；
选条件：由正弦定理可得，
即，
又因为，所以，
，所以；
，
，，
所以，即
又，
周长的取值范围为．
16.解：当时，，
，又，
在点处的切线方程为，即．
证明：，
易知在上单调递增，且，
又，
存在唯一的，使得，即，
当时，为减函数；当时，，为增函数．
，
当且仅当，即时，等号成立，
当时，．
17.解：，
，
故余弦距离等于；
；
，
故，，
则．

18.解：由已知，定义域为，
，
由，得．
当时，，在单调递增，无最小值．
当时，，；，．
故F，
令，，
当，；，，
故，
所以由，得．
证明：由可知，
此时等价于，
由可知当时，，
所以，即，
所以，
故．
19.解：定义域为 ，，
则当时，在时 恒成立，
在为增函数；
当时，，，
在为增函数，在为减函数；
证明：(ⅰ)原不等式等价于，
因为，，
由得，
则，
则等价于，
因为，
所以，
即证，
等价于 ，
设，，
设，
则等价于，
，
在上为增函数，
，即，
故；
(ⅱ)设，则，
所以在上递增，在上递减 ，
所以的极大值为，
且，，
由题意可知有两个不相等的实根，，，
则且 ，
设，
，
则 对恒成立，
则对恒成立，
又，
所以，
因为，所以，
又因为，，
所以或 ，
因为且，
所以，
因为由得，
所以，
即．
第1页，共1页