第21章一元二次方程检测卷（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
第21章一元二次方程检测卷-数学九年级上册人教版
一、单选题
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
2．用配方法将方程化成的形式，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列方程有实数根的是（　　）
A． B．
C． D．
5．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为二次方程的一个根，则这个三角形的周长为（ ）
A．15 B．21 C．15或21 D．19
7．已知关于的方程有一个根是，则它的另一个根和的值是（　　）
A．， B．， C．， D．，
8．虎外初三组有支球队参加篮球比赛，共比赛了15场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．一元二次方程的一次项系数、常数项分别是 和 ．
10．若关于x的一元二次方程有的两根为、，则的值为 ．
11．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为 ．
12．如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为米的笔直小道，其余部分（即图中阴影部分）改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为840平方米，根据题意可列方程 ．
13．如图，在中，，动点P从点C出发，沿方向运动，动点Q从点B出发，沿方向运动，如果点P，Q的运动速度均为．那么运动 秒时，它们相距？
14．如图有一个三角形点阵，从上向下有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点，，第行有个点，容易发现，是三角点阵中前行的点数之和当三角点阵中点数之和是时，则三角点阵点的行数为 ．
三、解答题
15．用适当方法解方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
16．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若是该方程的一个解，求方程的另一个根．
17．如图所示，小明的爷爷想用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． 若花圃的面积刚好为54平方米．
(1)设花圃段的长为x米，则的长可表示为______米．
(2)求花圃段的长x的值．
18．已知方程（x为实数），请你解答下列问题：
(1)若，解此方程；
(2)若，求证：此方程至少有一个实数根；
(3)设此方程有两个不相等的实数根分别为．若，求证：．
19．某商店以元/千克的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量（千克）与销售（元/千克）之间函数关系如图所示．
(1)求与函数关系式；
(2)商店想在销售成本不超过元的情况下，使销售利润达到元，销售单价应定为多少？
20．随着旅游旺季的到来，贵州某景区游客人数逐月增加，6月份游客人数为1.6万人，8月份游客人数为2.5万人．
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
(2)预计9月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区9月1日至9月21日已接待游客2.225万人，则9月份后9天日均接待游客人数最多是多少万人？
21．阅读材料：
材料1 若一元二次方程的两个根为，，则，．
材料2 已知实数，满足，，且，求的值．
解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以．
根据上述材料解决以下问题：
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则　　　　，　　　　．
(2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值；
(3)思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且．求的值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C B B C B B A
1．C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一元二次方程应注意的5个方面：一是化简后、二是一个未知数、三是未知数的最高次数为2、四是二次项系数不等于0、五是整式方程．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、是分式方程，选项说法错误，不符合题意；
B、当时，不是一元二次方程，选项说法错误，不符合题意；
C、，即是一元二次方程，选项说法正确，符合题意；
D、不是一元二次方程，选项说法错误，不符合题意；
故选C．
2．C
【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握配方法的步骤一除，二移，三配方，是解题的关键．
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得，，代入代数式计算即可．
【详解】解：，
，
∴，
∴，
∴，；
∴
故选：C．
3．B
【分析】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
方程移项，配方得到结果，即可作出判断．
【详解】解：方程，
整理得：，
配方得：，即．
故选：B．
4．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解答本题要掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．根据判别式公式代入数据计算逐一判断即可．
【详解】解：A、，方程无实数根，故不符合题意；
B、，方程有两个不相等的实数根，故符合题意；
C、，方程无实数根，故不符合题意；
D、，方程无实数根，故不符合题意；
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了实际问题与一元二次方程：增长率问题(一元二次方程的应用)，因为设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，七月份生产零件50万个，所以八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，结合第三季度生产零件196万个，进行列式，即可作答．
【详解】解：∵设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，七月份生产零件50万个
∴八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，
∵第三季度生产零件196万个
∴
故选：C
6．B
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法及三角形三边关系，熟练掌握一元二次方程的解法及三角形三边关系是解题关键．根据方程求得方程的两根，再根据三角形的三边关系，求得三角形周长即可．
【详解】解；解二次方程，
，
，，
∵第三边的长为二次方程的一个根，
∴第三边为4或10，
∵三角形两边长分别为2和9，
∴第三边，即第三边，
∴第三边为10，
∴三角形的周长为，
故选∶B．
7．B
【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，由关于的方程有一个根是得，则原方程可化，，然后解方程即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】∵关于的方程有一个根是，
∴，得，
解得，
∴原方程可化为：，
解得：，，
故选：．
8．A
【分析】先列出支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛场，再根据题意列出方程为．
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，从实际问题中抽象出相等关系是解题的关键．
【详解】解：有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
共比赛场数为，
共比赛了15场，
，
故选：A．
9． 5
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中叫做二次项，a为二次项系数；叫做一次项，b为一次项系数；c为常数项，熟练掌握知识点是解题的关键．先将原方程化为一般形式，再求解即可．
【详解】解：将化为一般式为，
∴一元二次方程的一次项系数、常数项分别是5，
故答案为：5，．
10．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系，是解决本题的关键．
利用一元二次方程根与系数的关系，直接得结论．
【详解】解：一元二次方程有两实根，，
这里，，，
．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，先根据根与系数的关系得到，再利用通分把变形为然后整体代入的方法即可求解，掌握根与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：根据题意得，，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，平移的性质，由平移的性质可得，草坪面积可以看做是一个长为米，宽为米的矩形，据此根据矩形面积公式列出方程即可．
【详解】解：由平移的性质可得，草坪面积可以看做是一个长为米，宽为米的矩形，
由题意得，，
故答案为：．
13．9或12
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，设运动t秒时，P，Q两点相距15厘米，利用勾股定理结合，可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论
【详解】解：设运动t秒时，P，Q两点相距15厘米，
依题意，得：，
解得：，
∴运动9秒或12秒时，P，Q两点相距15厘米；
故答案为：9或12．
14．24
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
由于第一行有个点，第二行有个点第行有个点，则前行共有个点，然后求它们的和，前行共有个点，则，然后解方程得到的值；
【详解】解：解：由于第一行有1个点，第二行有2个点第行有个点，
则前五行共有个点，
前10行共有个点，
，
前行共有个点，
然后求它们的和，
前行共有个点，
根据题意，有，
整理这个方程，得：，
解方程得：，（舍去），
故答案为：．
15．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用公式法解一元二次方程，即可作答．
（2）令每个因式等于0，进行计算，即可作答．
（3）等号右边提取3，得，再移项，然后提取公因式，令每个因式等于0，进行计算，即可作答．
（4）移项合并同类项，得，再运用因式分解，令每个因式等于0，进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：
则
∴
（2）解：
∴
（3）解：
∴
（4）解：
∴
∴
16．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，方程的解，解一元二次方程．
（1）根据根的判别式证明即可得证结论；
（2）根据方程解的定义可求出n的值，把n的值代入方程，解该一元二次方程即可解答．
【详解】（1）证明：∵在一元二次方程中，，，，
∴，
∴方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵是该方程的一个解，
∴，
解得，
∴该方程为，
解得，，
∴方程的另一个根为．
17．(1)
(2)花圃段的长x的值为6
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是从实际问题中整理出一元二次方程模型并运用一元二次方程解决实际问题．
（1）设花圃的宽为米，由长为25米的篱笆，在上用其他材料造了宽为1米的两个小门，列出长的代数式即可；
（2）在上用其他材料造了宽为1米的两个小门，故长变为，根据面积为54，列出方程，解得．
【详解】（1）．
故答案为：；
（2），
化简得：，
解得：，．
当时，，不符合要求；
当时，，符合要求．
答：花圃段的长x的值为6．
18．(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查一元二次方程的知识，涉及一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程．
（1）将代入，利用配方法求解方程即可；
（2）利用一元二次方程根的判别式，结合，得到，根据，即可证明；
（3）根据题意原方程为，由一元二次方程根与系数的关系的到，再根据完全平方公式变形得到，从而得到，根据根的判别式得到即可证明结论．
【详解】（1）解：，
原方程为，
解得：；
（2）证明：中，
，
，
，
，
，
此方程至少有一个实数根；
（3）证明：根据题意原方程为，且方程有两个不相等的实数根分别为，
，
，
，
即，
．
19．(1)；
(2)商店想在销售成本不超过元的情况下，使销售利润达到元，销售单价应定为元．
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程和不等式，利用数形结合的思想解答即可；
（1）根据函数图像可以设出函数解析式，函数图像过点，，从而可以求出函数的解析式；
（2）根据题意可以列出相应的方程和不等式，从而可以解答本题．
【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，
则，
解得，，
即与函数关系式是；
（2）商店想在销售成本不超过元的情况下，使销售利润达到元，设销售单价应定为元/千克，
，
解得，或，
又，
解得，，
故，
即商店想在销售成本不超过元的情况下，使销售利润达到元，销售单价应定为元．
20．(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为
(2)9月份后9天日均接待游客人数最多是0.1万人
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，利用该景区8月份游客人数该景区6月份游客人数（这两个月中该景区游客人数的月平均增长率），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设9月份后9天日均接待游客人数是y万人，根据9月份该景区游客人数的增长率不会超过前两个月的月平均增长率，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为；
（2）解：设9月份后9天日均接待游客人数是y万人，
根据题意得：，
解得：，
∴y的最大值为．
答：9月份后9天日均接待游客人数最多是万人．
21．(1)；
(2)
(3)
【分析】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则．
（1）直接根据根与系数的关系可得答案；
（2）由题意得出、可看作方程，据此知，，将其代入计算可得；
（3）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两根，继而知，，进一步代入计算可得．
【详解】（1）解：由题意可得：，；
故答案为：；；
（2）解：，，且，
、可看作方程，
，，
；
（3）解：把变形为，
实数和可看作方程的两根，
，，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)