中小学教育资源及组卷应用平台
学习任务单
课程基本信息
学科 数学 年级 七年级 学期 秋季
课题 13.5.3 角平分线
教科书 书 名：义务教育教科书数学七年级上册 出版社：浙江教育出版社
学生信息
姓名 学校 班级 学号
学习目标
1. 探索并证明角平分线的性质定理和判定定理； 2．能运用角平分线的性质定理和判定定理进行相关证明与计算.
课前学习任务
复习引入 问题1：同学们都喜欢折纸，老师现在也来折纸.如图1是画有的纸张，我们将对折，得到一条折痕，然后再折出一个直角三角形（以第一条折痕为斜边）然后展开，大家一起观察一下这两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？
课上学习任务
【学习任务一】 问题2：如图2所示，已知平分，点在上，，，垂足为、.你能证明吗？ 【学习任务二】 问题3：写出定理“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”的逆命题。 问题4：你能证明刚才所写的逆命题是真命题吗？ 如图2，，，垂足为、，. 求证：点在的平分线上. 思考： （1）请同学们先任意画一个三角形，然后再分别作出这个三角形的三条角平分线，观察一下，你发现了什么现象？ （2）你能运用所学的知识证明这一现象吗？ 【学习任务三】 例 如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D。 求证：AD平分∠BAC 思考：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P． 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等． 【学习任务四】课堂练习 必做题： 1.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B .下列结论中不一定成立的是( )A．PA＝PB B．PO平分∠APBC．OA＝OB D．AB垂直平分OP 选做题： 2.如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？ （ ） A. 1处B. 2处C. 3处D. 4处 【综合拓展类作业】 3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，F在AC上，BE＝FC，求证：BD＝DF. 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 （ ） A．1 B．6 C．3 D．12 选做题： 2.如图2，l1和l2表示两条公路，点A和点B表示两个村庄，现准备修建一个供货站（用点P表示），要求供货站到两个村庄的距离相等，且到两条公路的距离也相等，请找出符合要求的所有点P，并在图中标出. 【综合拓展类作业】 3. 已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点F，E，G分别是OA，OB上的点，且PF=PG，DF=EG. 求证:OC是∠AOB的平分线.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第19课时《13.5.3 角平分线》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，掌握角平分线性质定理以及其逆定理．
学习者分析 让学生通过自主探索，运用逻辑推理的方法证明关于角平分线的重要结论，并体会感性认识与理性认识之间的联系与区别．
教学目标 1. 探索并证明角平分线的性质定理和判定定理； 2．能运用角平分线的性质定理和判定定理进行相关证明与计算.
教学重点 掌握角平分线性质定理以及其逆定理．
教学难点 “到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”这一结论的证明以及应用．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：教师活动1： 问题1：同学们都喜欢折纸，老师现在也来折纸.如图1是画有的纸张，我们将对折，得到一条折痕，然后再折出一个直角三角形（以第一条折痕为斜边）然后展开，大家一起观察一下这两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？ 问题2：如图2所示，已知平分，点在上，，，垂足为、.你能证明吗？ 教学方法：引导学生回顾刚才折纸的过程，从中启发学生用全等三角形的知识进行证明并叙述其过程。 §.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。 几何语言：∵平分，， ∴ 学生活动1： 教师鼓励学生大胆表述意见，然后作适当点评， 借助生活实例让学生独立思考数学问题；从而揭示今天所学的课题， 活动意图说明：激发学生兴趣,引入新课主题，通过复习，引出新问题.探究角的平分线的性质定理内容． 环节二：教师活动2： 问题3：写出定理“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”的逆命题。 问题4：你能证明刚才所写的逆命题是真命题吗？ 如图2，，，垂足为、，. 求证：点在的平分线上. 解析：为了证明点在的平分线上，可以作射线，然后证，从而得到. §.角平分线的判定定理：到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 几何语言：∵，， ∴平分 注意：角平分线的性质角平分线的判定。 思考： （1）请同学们先任意画一个三角形，然后再分别作出这个三角形的三条角平分线，观察一下，你发现了什么现象？ （2）你能运用所学的知识证明这一现象吗？ 学生活动2： 学生自学、互动。在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想、发现结论． 学生思考 活动意图说明：从旧知识出发，呼应引课问题，学生通过自己解决问题，通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解.环节三：教师活动3 例 如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D。 求证：AD平分∠BAC ∵ DF⊥AC DE⊥AB ∴ ∠DEB＝∠DFC＝90° 在△BDE和△CDF中： ∠BDE＝∠CDF ∠DEB＝∠DFC BE＝CF ∴ △BDE≌△CDF（AAS） ∴ DE＝DF ∵ DF⊥AC于点F DE⊥AB于点E ∴ AD平分∠BAC 思考：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P． 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等． 分析：点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题． 证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F． 因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上． 所以PD=PE． 同理PE=PF． 所以PD=PE=PF． 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等． 学生活动3： 参与教师分析和讲例题． 在学生自主、合作、探究后，学生解答． 活动意图说明：熟练掌握.巩固学的知识，学生通过自己解决问题，对于性质定理的运用。让学生初步了解角的平分线的性质在生产、生活中的应用．
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B .下列结论中不一定成立的是( )A．PA＝PB B．PO平分∠APBC．OA＝OB D．AB垂直平分OP 选做题： 2.如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？ （ ） A. 1处B. 2处C. 3处D. 4处 【综合拓展类作业】 3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，F在AC上，BE＝FC，求证：BD＝DF.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 （ ） A．1 B．6 C．3 D．12 选做题： 2.如图2，l1和l2表示两条公路，点A和点B表示两个村庄，现准备修建一个供货站（用点P表示），要求供货站到两个村庄的距离相等，且到两条公路的距离也相等，请找出符合要求的所有点P，并在图中标出. 【综合拓展类作业】 3. 已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点F，E，G分别是OA，OB上的点，且PF=PG，DF=EG. 求证:OC是∠AOB的平分线.
教学反思
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共23张PPT)
（华师大版）八年级
上
13.5.3 角平分线
全等三角形
第13章
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
教学目标：
1.会叙述角平分线的性质及判定;（重点）
2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和
掌握角平分线性质定理和它的逆定理．能应用这两个性
质解决一些简单的实际问题;（难点）
3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理
证明意识和能力．
新知讲解
情境导入
在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？
A
B
C
新知讲解
知识点 角平分线的性质
角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
角是轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.
如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任一点，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E.将∠AOB沿OC对折，那么PD，PE之间存在怎么样的数量关系，你可以用一句话来描述这一结论吗？
PD=PE.
角平分线上的点到角两边的距离相等.
你可以证明这一结论吗？
新知讲解
证明:∵ OC平分∠AOB, P是OC上一点，
∴∠DOP=∠EOP.
∵PD⊥OA,PE⊥OB ，
∴∠ODP=∠OEP=90°.
在△OPD和△OPE 中，
∠DOP=∠EOP ,∠ODP=∠OEP ,OP=OP,
∴ △OPD≌△OPE (A.A.S.).
∴PD＝PE（全等三角形的对应边相等）.
角平分线的性质定理
角平分线上的点到角两边的距离相等.
如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任一点，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E..
求证：PD＝PE.
新知讲解
这样的点有多少个？
思考
角平分线的性质定理：
角平分线上的点到线段两端的距离相等.
角平分线是到角两边距离相等的点的集合.
新知讲解
探索
将角平分线的性质定理，反过来会有什么结果呢？
条 件 结 论
性质定理
逆命题
一个点在角的平分线上
这个点到角两边的距离相等
一个点到角两边的距离相等
这个点在角的平分线上
这个逆命题是真命题吗？如果是，应该如何证明？
新知讲解
想想看，这个逆命题是不是一个真命题？你能证明吗？
逆命题
如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上.
新知讲解
证明：过点O、Q作射线OQ.
∵QD⊥OA，QE⊥OB，
∴∠QDO=QEO=90°.
在Rt△QDO和Rt△QEO中，
∵OQ=OQ，QD=QE，
∴Rt△QDO≌Rt△QEO（H.L.）.
∴∠DOQ=∠EOQ（全等三角形的对应角相等）.
∴点Q在∠AOB的平分线上．
判定定理 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
与性质定理互为逆定理.
已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，垂足分别是D、E，QD=QE.
求证：点Q在∠AOB的平分线上.
A
O
B
Q
D
E
新知讲解
提炼概念
归纳
角平分线的判定定理：
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
应用格式：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE，
∴点P 在∠AOB的平分线上.
角平分线的判定定理与性质定理互为逆定理.
D
P
A
C
B
E
O
典例精析
例 如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D。
求证：AD平分∠BAC
新知讲解
证明：∵ DF⊥AC DE⊥AB
∴ ∠DEB＝∠DFC＝90°
在△BDE和△CDF中：
∠BDE＝∠CDF
∠DEB＝∠DFC
BE＝CF
∴ △BDE≌△CDF（AAS）
∴ DE＝DF
∵ DF⊥AC于点F DE⊥AB于点E
∴ AD平分∠BAC
新知讲解
试一试
你能给出三角形三个内角平分线交于一点的证明吗？
分析：只需要证明第三条角平分线经过另外两条角平分线的交点即可.思路可表示如下：
AP是∠BAC的平分线
BP是∠ABC的平分线
PD=PF
PD=PE
PF=PE
点P在∠BCA的平分线上
A
B
C
P
D
F
E
试试看，现在你会证明了吗？
新知讲解
证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC， PF⊥AC,
垂足分别为D、E、F.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上（已知）,
∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）.
同理 PE=PF.
∴ PD=PF（等量代换）.
∴ 点P在∠A的平分线上.
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.
求证：点P也在∠A的平分线上.
A
B
C
P
E
D
F
M
N
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B .下列结论中不一定成立的是( )
A．PA＝PB
B．PO平分∠APB
C．OA＝OB
D．AB垂直平分OP
D
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
2.如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？ （ ）
A. 1处 B. 2处
C. 3处 D. 4处
l1
l2
l3
P1
D
P2
P3
P4
【综合拓展类作业】
课堂练习
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，F在AC上，BE＝FC，求证：BD＝DF.
证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，∠C＝90°，
∴DE＝DC.
在Rt△BDE和Rt△FDC中，
ED＝CD，
BE＝FC，
∴Rt△BDE≌Rt△FDC,
∴BD＝DF.
课堂总结
判定定理
性质定理
角平分线
1.内容：角平分线上的点到角两边的距离相等.
2.应用：见角平分线，得垂线段相等
1.内容：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
2.应用：判断一个点是否在角平分线上
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
C
1.如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 （ ）
A．1 B．6 C．3 D．12
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
2.如图2，l1和l2表示两条公路，点A和点B表示两个村庄，现准备修建一个供货站（用点P表示），要求供货站到两个村庄的距离相等，且到两条公路的距离也相等，请找出符合要求的所有点P，并在图中标出.
如图所示，P1，P2即为所求作的点.
P2
P1
作业布置
【综合拓展类作业】
3. 已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点F，E，G分别是OA，OB上的点，且PF=PG，DF=EG.
求证:OC是∠AOB的平分线.
证明:∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDF=∠PEG=90°.
在Rt△PFD和Rt△PGE中,
∵PF=PG，DF=EG，
∴Rt△PFD≌Rt△PGE(H.L.)，
∴PD=PE.
∵P是OC上点，PD⊥OA，PE⊥OB,
∴OC是∠AOB的平分线.
