江苏省南通市如皋中学2024-2025学年度高三上学期期初测试数学试题（PDF版，含解析）

江苏省南通市如皋中学 2024-2025 学年度高三上学期期初测试
数学试题及参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合U R，集合 A x 3 x 1 ， B x 0 x 2 ，则图中阴影部分表示的
集合为（ ）
A. 3，0 B. 1，0
C. 0，1 D. 2，3
2.已知圆锥的底面半径为 2 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）
6 2 6 4 6A. B. C. 8 6D.
3 3 3 3
3.顶点在原点，对称轴是 y轴，并且顶点与焦点的距离为 3 的抛物线的标准方程为（ ）
2
A. x 3y B. y 2 6x 2C. x 12y 2D. y 12x
4.方程 log3 x log 6 x log9 x的实数解有（ ）
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
x 2 y 2
5.已知直线 x 4y 9 0与椭圆 2 1 0 b 4 相交于 A,B两点，椭圆的两个焦16 b
点是 F1 ,F2，线段 AB的中点为C 1，2 ，则 CF1F2的面积为（ ）
A. 2 2 B.4 2 C.2 3 D.4 3
2 2
6.已知圆C的方程为 x y 2 a，则“ a 2”是“函数 y x 的图象与圆C有四
个公共点”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
x 2 y 2
7.已知双曲线C：
a 2
2 1 a 0,b 0 的左、右焦点分别为 F1 ,F2 ,点M 是双曲线C右b
支上一点，直线 F1M 交双曲线C的左支于点 N 点.若 F1N 2，F2M 3，MN 4 ,
1
且 MF1F2的外接圆交双曲线C的一条渐近线于点 P x0 , y0 ，则 y0 的值为（ ）
3 2 3 5
A. 3 B. C. D.3
2 2
x 2 y 2
8.已知 F1 ,F2分别是椭圆 2 2 1 a b 0 的左右焦点，过 F2 作直线交椭圆于 A、Ba b
两点，已知 AF1 BF1 , ABF2 30 ，则椭圆的离心率为（ ）
6 2 6 3
A. B. C. 6 2 D. 6 3
2 2
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得 3分，有选错的得 0分.
2 2
9.下列已知曲线C：mx ny 1，下列结论中正确的有（ ）
A.若m n 0，则C是椭圆，其焦点在 x轴上
B.若m n 0，则C是圆，其半径为 n
m
C.若mn 0，则C是双曲线，其渐近线方程为 y x
n
D.若m 0， n 0，则C是两条直线
10.如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 4，点M 是其侧面
ADD1A1上的一个动点（含边界），点 P是线段CC1上的动点，
则下列结论正确的是（ ）
A.存在点 P,M ，使得二面角M DC P 5 大小为
6
B.存在点 P,M ，使得平面B1D1M 与平面 PBD平行
C.当 P为棱CC1的中点且 PM 2 6时，则点M 的轨迹长度为 2
D.当M 为 A1D的中点时，四棱锥M ABCD
32
外接球的表面积为
3
2
11.已知抛物线C：y 2px p 0 上存在一点 E 2, t 到其焦点的距离为 3，点 P为直线
x 2上一点，过点 P作抛物线C的两条切线，切点分别为 A,B，O为坐标原点，则
（ ）
2
2
A.抛物线的方程为 y 4x B.直线 AB一定过抛物线的焦点
C.线段 AB长的最小值为 4 2 D.OP AB
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分.
12.过点 P 2,3 的等轴双曲线的方程为 .
2
13.过点 P 1，2 的直线 l与曲线 y 4 x 有且仅有两个不同的交点，则 l斜率的取值范围
为 .
x3 2
14.已知过点 0,a 可作三条直线与曲线 f x x 1相切，则实数 a的取值范围
3
为 .
四、解答题：本题共 5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16,17 题各 15 分，第 18,19
题各 17 分，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
x
15.已知函数 f x 2e x 1 .
（1）求函数 f x 的极值；
（2）求函数 f x 在区间 t, t 1 t 3 上的最小值 g t .
x 2 y 2
16.设椭圆 2 2 1 a b 0 的左焦点为 F
1
，右顶点为 A，离心率为 .已知 A是抛
a b 2
2
物线 y 2px p 0 1的焦点， F 到抛物线的准线 l的距离为 .
2
（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（2）设 l上两点 P,Q，关于 x轴对称，直线 AP与椭圆相交于点 B（ B异于点 A），直
线 BQ 6与 x轴相交于点D .若 APD的面积为 ，求直线 AP的方程.
2
17.如图，直三棱柱 ABC A1B1C1的体积为 1， AB BC， AB 2， BC 1.
（1）求证： BC1 A1C；
（2）求二面角 B1 A1C B的余弦值.
3
C x
2 y 2
18.已知双曲线 的方程为 2 2 1 a 0,b 0
2
，直线 l过抛物线 y 8x的焦点和点
a b
0,b .已知C的焦距为 6 且一条渐近线与 l平行.
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线m过双曲线C上的右焦点，若m与C交于点 A，B（其中点 A在第一象
4
限），与直线 x 交于点T ，过T 作平行于OA的直线分别交直线OB，x轴于点 P,Q，
3
TP
求 .
PQ
f x ln ex 19.已知函数 ，其中 e为自然对数的底数.
ax
（1）讨论 f x 的单调性；
（2）若方程 f x 1有两个不同的根 x1 , x2 .
2 2
（ⅰ）求 a的取值范围； （ⅱ）证明： x1 x2 2.
4
参考答案
一、选择题
1.A 解析：∵ A x 3 x 1 ， B x 0 x 2 ，∴ A B x 0 x 1 ，
∴CA A B x 3 x 0 3,0 .
2.B 解析：设圆锥母线长为 l，高为 h，底面半径为 r 2，
则由 2 2 l，得 l 2 2 ，∴ h l 2 r 2 6，
V 1 r 2
2
∴ h 1 2 6 2 6 .
3 3 3
2 2
3.C 解析：设抛物线的方程为： x 2py p 0 或 x 2py p 0 ，
p
3 p 6 x 2依题意知 ，∴ ，∴抛物线的标准方程为 12y .
2
ln x ln x ln x
4.C 解析： log3 x log x log x，ln 3 ln 6 ln9 6 9
∴ ln x 0 ln 6 ln 9 或 ln x 2ln 6 ln 36，∴ x 1或 x 36，
ln 3
∴方程 log3 x log 6 x log9 x的实数解有 2 个.
y y 1
5.B 解析：设 A x1 , y1 ,B x2 , y2 ，由题可知 1 2 ，x1 x2 2， yx x 4 1 y2 4，1 2
x 2 21 y

1 1
16 b 2 y y b 2 2
则 ，∴ 1 2
x1 x 2 1 2b，即 b 2，解得 8，
x
2 2
2 y2 x1 x2 16 y1 y2 4 4 16
2 1 16 b
∴ c 2 a 2 b 2 16 8 8，则 c 2 2，
S 1∴ CF F 2c 2 4 2 .1 2 2
2
6.B 解析：由圆C： x y 2 2 a可得圆心 0,2 ，半径 r a，
2 0
若圆与 y x相交，则圆心到直线 y x的距离 d 2 a ，即 a 2，
2
若函数 y x 的图象与圆C有四个公共点，则原点在圆的外部，
5
2
即0 0 2 2 a，解得 a 4，
综上函数 y x 的图象与圆C有四个公共点则 2 a 4，
∴“ a 2”是“函数 y x 的图象与圆C有四个公共点”的必要不充分条件.
7.D 解析：∵点M，N 分别在双曲线C的右支和左支上，
∴ MF1 MF2 NF2 NF1 2a，
又 F1N 2， F2M 3， MN 4 ,∴ 2a 2 4 3 3，
3
解得 a ， NF2 2a NF1 3 2 5，2
NF 2 2 2∴ 2 MN MF2 ,∴ NMF2是直角.
在 Rt MF1F2中， F1F
2
2 F1M
2 MF 22 ,∴ 2c 2 62 32 c 2
45
，解得 ，
4
b 2 c 2 a 2 45 9∴ 9，即b 3 .
4 4
又 MF1F2的外接圆交双曲线C的一条渐近线于点 P x0 , y0 ，∴ OP c，
x 20 y
2 2
0 c 2
x0 a
2
∴点 P x , y 的坐标满足 x 20 0 0 y
2 ，解得 ，2 2
0 y b
a 2
2 0b 0
x0 a
∴ ，故 y0 3.
y0 b
8.A 解析：如图所示，设 AF1 m，
∵ AF1 BF1 , ABF2 30 ，
∴ AB 2m， AF2 2a m， BF1 3m， BF2 2m 2a m 3m 2a，
3m 3m 4a 2a 3 3 ∴ 2a 2a，解得m ，
3 3 3
2
∴3m 16 8 3 a 2，6am 12 4 3 a 2 ，
在 AF1F2中，由余项定理得
2c 2 m 2 2a m 2 2m 2a m cos60 ，整理得 4c 2 4a 2 6am 3m 2 0，
6
4c 2 4a 2 12 4 3 a 2∴ 16 8 3 a 2 0，
2 6 2
化简得 e 2 3，∴ e .
2
二、选择题
2 2
9.CD 解析：对于 A，若m n 0 mx 2 x y，则 ny 2 1可化为 1，∵m n 0，
1 1
m n
1 1
∴ ，即曲线C表示焦点在 x轴上的椭圆，故 A不正确；
m n
2 2 2 2 1
对于 B，若m n 0，则mx ny 1可化为 x y ，此时曲线C表示圆心在
n
n
原点，半径为 的圆，故 B 不正确；
n
2 x 2 y 2
对于 C，若mn 0，则mx ny 2 1可化为 1，此时曲线C是双曲线，由
1 1
m n
mx 2 m ny 2 0可得 y x，故 C 正确；
n
2 2 2 1 n
对于 D，若m 0，n 0，则mx ny 1可化为 y ，y ，此时曲线C表
n n
示平行于 x轴的两条直线，故 D 正确.
10.BC 解析：对于 A，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，可得CD 平面 ADD1A1，
∵MD 平面 ADD1A1，DD1 平面 ADD1A1，∴CD MD，CD DD1，

∴二面角M DC P的平面角为 MDD1，其中 MDD1 0， ，故 A错误； 2
对于 B，如图所示，当M 为 AA1中点， P为CC1中点时，
在正方体 ABCD A1B1C1D1中，可得 B1D1 ∥BD，
∵ B1D1 平面 BDP，且 BD 平面 BDP，
∴ B1D1 ∥平面 BDP，
7
又∵MB1 ∥DP，且MB1 平面 BDP，且DP 平面 BDP，∴MB1 ∥平面 BDP，
∵ B1D1 MB1 B1，且 B1D1，MB1 平面MB1D1，∴平面 B1D1M ∥平面 PBD，
故 B正确；
对于 C，如图所示，取DD1中点 E，连接 PE,ME,PM ，
在正方体 ABCD A1B1C1D1中，CD 平面 ADD1A1，
且CD∥PE，∴ PE 平面 ADD1A1，
∵ME 平面 ADD1A1，
2 2 2 2
可得 PE ME，则ME PM PE 2 6 4 2 2 ，
则点M 则在侧面 ADD1A1内运动轨迹是以E为圆心，2 为半径的劣弧，
分别交 AD, A1D1于M 2 ,M1，如图所示，则M 1D1 8 4 2 D1E ,

综合对称性可知， M 1ED1 M 2ED ，4
M EM 则 1 2 ，劣弧M 1M 2 的长为 2 2 2 ，故 C 正确；2 2
对于 D，当M 为 A1D的中点时，可得 AMD为等腰直角三角形，
且平面 ABCD 平面 ADD1A1，
连接 AC与 BD交于点O，可得OM OA OB OC OD 2 2 ，
∴四棱锥M ABCD外接球的球心即为 AC与 BD的交点O，
∴四棱锥M ABCD外接球的半径为 2 2，
2
其外接球的体积为 4 2 2 32 ，故 D 错误.
8
2
11.ACD 解析：抛物线C：y 2px p p，可得焦点坐标 F ,0 ，准线方程为 x ，
2 2
∵抛物线C上存在一点 E 2, t 到其焦点的距离为 3，
p 2
由抛物线的定义可得 2 3，可得 p 2，∴抛物线的方程为 y 4x，故 A 正确；
2
设 P 2,m ，显然直线 PA 的斜率存在且不为 0，设斜率为 k1，
可得 PA 的方程为 y m k1 x 2 ，
y m k1 x 2 2
联立方程组 ，整理得 k y 4y 8k 4m 0，
y 2 4x
1 1
∵ PA 2是抛物线的切线，∴ 4 4k1 8k1 4m 0 2，即 2k1 k1m 1 0，

且点 A 4 2 1 1 2的纵坐标为 ，代入抛物线方程，可得 A横坐标为 ，即 A 2 2 ， 2k k k k k
，
1 1 1 1 1
设直线 PB的斜率存在且不为 0，设斜率为 k2 ，

同理可得 2k 2 k 1 22 2m 1 0，且 B 2 ， ，
k2 k2
∴ k m 11 ,k2是方程 2k km 1 0的两个不等式的实数根，∴ k1 k2 ，k2 1
k2 ，2
2 2
1
k k m 2k k m 2 m
∵ k AB k 2 1

OP

1 2



2 1，2 2 2 k1 k2 2 m 2
k 2 2

2 k1 2
∴OP AB，故 D 正确；
m 2
由OP AB，且 kOP ，可得 k2 AB
，
m
2 2
则直线 AB的方程为 y x 1 2，即mk y 2mk 2k 2x 2，
k m k 2 1 1 11 1
2
又由 2k1 k1m 1 0，可得 k1m 1 2k
2
1 ，
∴ k1 2k 3 y 2 1 2k 2 2 21 1 2k1 x 2，即 1 2k1 y 2k1 x 2 ，
∴直线 AB一定过定点 2,0 ，该点不是抛物线的焦点，故 B 不正确；
9
由直线 AB的斜率不为 0，设直线 AB的方程为 x my 2，且 A x1 , y1 ,B x2 , y2 ，
x my 2
联立方程组 ，整理得 y 2 4my 8 0，∴ y1 y2 4m， yy 2 4x 1
y2 8，

则 AB 1 m 2 y 2 2 2 21 y2 1 m y1 y2 4y1 y2 1 m 16m 32
2
4 m 4 3m 2 2 4 3 1 m 2 4 2 ，
2 4
当为仅当m 0时，等号成立，
即 AB 的最小值为 4 2，故 C 正确.
三、填空题
y 2 x 2
12. 1
5 5
4
13. 2，

0
2
， 解析：由题意可设直线 l： y k x 1 2，
3 3
2 2 2
又曲线 y 4 x 可化为 x y 4, y 0，
作出直线 l与曲线 y 4 x 2 的图象如图所示：
设图中直线 l1， l2， l3 ， l4的斜率分别为 k1， k2 ， k3， k4 ，
k 2 0 2则 1 ， k2 0 k
2 0
， 3 2，1 2 3 1 2
又直线 l4的方程为 y 2 k4 x 1 ，
2 k4
圆心 0,0 到直线 l4的距离为 2，解得 k4 0（舍去）或 k
4
2 4
，
k 34 1
4 2
要使两图象有两个不同的交点，则 k 2， 0， . 3 3
1 4 14. ， 解析： f x x 2 2x，设点 x1 , f x1 为曲线 y f x 的切点，
3
y f x x 2则切线方程为 1 1 2x1 x x1 ，整理得 y x 21 2x 2 3 21 x x1 x1 1，3
10
0,a a 2 x3 x 2将点 导入可得 1.
3 1 1
2
令 g x x3 x 2 1，则 g x 2x 2 2x 2x 1 x ，
3
∴当 x 0时， g x 0， g x 单调递减；
当0 x 1时， g x 0， g x 单调递增；
当 x 1时， g x 0， g x 单调递减.
又 g 0 1， g 1 4 4 ，∴当1 a 时，方程 g x a有 3 个不同的实数根，
3 3
1 4 2即当 a 3 2时，有 3 个不同的 x1满足方程 a x3 3 1
x1 1，
x3
即过点 0,a 可作三条直线与曲线 f x x 2 1相切.
3
四、解答题
x
15.解：（1）由题意得 f x 2e x 2 ，由 f x 0得 x 2；由 f x 0得 x 2，
∴ f x 在 2， 上单调递增，在 ， 2 上单调递减.
∴ f x f 2 2e 2的极小值为 ，无极大值.
（2）由（1）知 f x 在 2， 上单调递增，在 ， 2 上单调递减
∵ t 3，∴ t 1 2 .
①当 3 t 2时， f x 在 t, 2 上单调递减，在 2，t 1 上单调递增，
∴ g t f 2 2e 2 .
②当 t 2时， f x 在 t, t 1 上单调递增，∴ g t f t 2e t t 1 .
2e 2 , 3 t 2
综上 g t .
t 2e t 1 ， t 2
c 1 p
16.解：（1）依题意设点 F c,0 ，因 e ，且 a，
a 2 2
由对称性知抛物线的准线 l方程为 x a，则 a c 1 1 ，解得 a 1,c , p 2，
2 2
2 2 2 3
于是b a c .
4
11
2
2 4y
从而得椭圆的方程为 x 1 2，抛物线的方程为 y 4x .
3
（2）由于准线 l方程为 x 1，
依题意设 P 1, t t 0 ，则Q 1, t .
t
因 A 1，0 ，则 k AP ，2
t
得直线 AP的方程为 y x 1 ①，
2
2 4y 2
将①式代入 x 1 2 2中化简，得 t 2 x 2t 2x t 2 3 0，
3
2
设 B x , y t 3 t 3t0 0 ，由韦达定理得 x0 x0xA t 2
，则 y0 x 3 2 0
1
t 2
，
3
t 2 3 3t 2
即 B ， ，则 k
t 6
，
t
2 3 t 2 3 BQ 2t
t 2 6
于是得直线 BQ方程为： y t x 1 ，
2t
t 2 y 0 x 6 D t
2 6 0 AD 1 t
2 6 12
令 ，解得 2 ，即 2 ， ，则 ，t 6 t 6 t
2 6 t 2 6
6 S 1 12
2
于是 APD t ，化简得 t 6 0，得 t 6，2 2 t 2 6
代入①式化简，得直线 AP方程为3x 6y 3 0或3x 6y 3 0 .
17.解：（1）直三棱柱 ABC A1B1C
1
1的体积为V AB BC
1
AA1 2 1 AA1 1，2 2
则 AA1 1 BC ，∴四边形 BCC1B1为正方形，
法一：在直三棱柱 ABC A1B1C1中， BB1 面 ABC， AB∥ A1B1，
又 AB 面 ABC，则 AB BB1，
∵ AB BC， AB BB1，BB1 BC B， BB1，BC 平面 BCC1B1，
∴ AB 平面 BCC1B1，又 BC1 平面 BCC1B1，∴ AB BC1，
∵ AB∥ A1B1，∴ A1B1 BC1，
12
在正方形 BCC1B1中，有 BC1 B1C，
∵ BC1 B1C， A1B1 BC1， A1B1 BC1 B1， A1B1，BC1 平面 A1CB1，
∴ BC1 平面 A1CB1，又 A1C 平面 A1CB1，∴ BC1 A1C .
法二：直三棱柱 ABC A1B1C1， BB1 平面 ABC，又 AB BC，
以 B为原点， BC，BA，BB1所在直线为 x, y, z轴，建立空间直角坐标系，
则 B 0，0，0 ，B1 0，0，1 ，C 1，0，0 ，A1 0，2，1 ，C1 1，0，1 ，
BC1 1，0，1 ， A1C 1， 2， 1 ，
∴ BC1 A1C 1 1 0 2 1 1 0，∴BC1 A1C .
（2）法一：由（1）得 BC1 A1C，
设 B1C BC1 O，在 A1B1C中，过O作OH A1C于H ，连接BH ，
∵OH A1C， BC1 A1C，OH ,BC1 平面 BHO，且OH BC1 O，
∴ A1C 平面 BHO，又 BH 平面 BHO，∴ A1C BH ，
∴ BHO为二面角 B1 A1C B的平面角，
∵ Rt COH ~ Rt CA B CO CA1 3 1 1， ，得OH ，OH A1B1 3
3
2 30 OH 10
又在 Rt BOH 中， BO ，得 BH ， cos BHO 3 ，
2 6 BH 30 5
6
10
∴二面角 B1 A1C B的余弦值为 .5
法二：B 0，0，0 ，B1 0，0，1 ，C 1，0，0 ，A1 0，2，1 ，C1 1，0，1 ，BC 1，0，0 BA1 0，2，1 ，

设平面 BCA1的法向量为 n1 x1 , y1 , z1 ，
n1 BC x1 0
则 ，取 y1 1，得 n1 0,1, 2 ， n1 BA1 2y1 z1 0
13
BC1 1，0，1 ， B1A1 0,2，0 ，
设平面 B1CA

1的法向量 n2 x2 , y2 , z2 ，

n2 B1C x2 z2 0
则 ，取 x 1

2 ，取 n2 1,0,1 ，
n

2 B1A1 2y2 0
设二面角 B1 A1C B的大小为 ，则

cos cos n
n1 n2 2 10 1 ,n2 ，n n 1 2 5 2 5
10
∵ 为锐角，∴二面角B1 A1C B的余弦值为 .5
y 2 8x 2,0 l k b18.解：（1）∵抛物线 的焦点为 ，∴直线 的斜率 l ，2
b b
∵双曲线C的一条渐近线与 l平行，∴ ，即 a 2 .
a 2
又∵曲线C的焦距为 6，即 2c 6，即 c 3，
2 2
b 2 c 2 a 2∴ 5 C x y，∴双曲线 的方程为 1.
4 5
（2）双曲线C的右焦点为 3,0 ，
由题意知直线m的斜率存在且不为 0，
设直线m的方程为 x my 3 m 0 ，
A x1 , y1 ,B x2 , y2 ，
x 2 y 2
1
联立 4 5 ，消去 x得 5m 2 4 y 2 30my 25 0, 5m 2 4 0，
x my 3
400 1 m 2 0 y y 30m 25且 ，∴ 1 2 2 ， y1 y2 ，5m 4 5m 2 4
x 4 5 4 5将 代入 x my 3得 yT ，∴T

, .
3 3m 3 3m
直线 PQ y 方程为： y 1 x
4 5 y
，与直线OB：y 2 x联立，
x1 3 3m x2
14

y 4my1 y2 5x1 y2 4my1 y2 5 my1 3 y2 3my1 y2 5y可得 P 23m x2 y1 x1 y2 3m my2 3 y1
，
my1 3 y2 3m y1 y2
5
5 y
5
1 y2 5y2 y1 y2
∵ y1 y2 y y
5
1 2 ，∴ y
2 2
6m P 3m y1 y2
.3m y1 y2 6m
y
y 0 y T
yQ P TQ TP∵ Q ，∴ P ，∴ 为 的中点，即 1.2 PQ
ln ex 1 ln x ln x
19.解：（1）由题意得 f x ， x 0, ，则 f x ，
ax ax ax 2
由 f x 0，解得 x 1.
显然 a 0，
若 a 0，则当0 x 1时， f x 0， f x 单调递增；
当 x 1时， f x 0， f x 单调递减，
若 a 0，则当0 x 1时， f x 0， f x 单调递减；
当 x 1时， f x 0， f x 单调递增，
综上，当 a 0时， f x 在区间 0,1 内单调递增，在区间 1， 内单调递减；
当 a 0时， f x 在区间 0,1 内单调递减，在区间 1， 内单调递增.
ln ex
（2）（ⅰ）由 1 1 ln x，得 a，
ax x
g x 1 ln x设 ，由（1）得 g x 在区间 0,1 内单调递增，在区间 1， 内单调递减，
x
1
又 g 0， g 1 1，
e
当 x 1时， g x 0，且当 x 时， g x 0，
∴当0 a 1 1 ln x ln ex 时，方程 a有两个不同的根，即方程 1有两个不同的根，
x ax
故 a的取值范围是 0,1 .
1 ln x 1 ln x
（ⅱ）不妨设 x x ，则0 x 1 x ，且 1 21 2 1 2 .x1 x2
15
2 2 2
法一：当 x2 2, 时， x1 x2 x2 4 2 2 2，即 x1 x2 2；
当 x2 1,2 时， 2 x2 0,1 .
p x g x g 2 x ln x 1 ln 2 x 1设 , 0 x 1，
x x 2 x 2 x
p x ln x ln 2 x ln x ln 2 x ln x 1
2 1
则 2 2 0，x 2 x x 2 x 2 x 2
∴ p x 在区间 0,1 内单调递增，
则 p x p 1 0，即 g x g 2 x ，∴ g 2 x1 g x1 g x2 ，
又 x1 0,1 ， 2 x1 1， x2 1， g x 在区间 1， 内单调递减，
∴ 2 x 2 21 x2 ，即 x1 x2 2，又 x1 x2，∴ x1 x2 2x1x2，
2 2
故 2x1 2x2 x
2 2 2 2 2
1 x2 2x1x2 x1 x2 4，∴ x1 x2 2 .
h x g x g 1 1 ln x法二：设 x 1 ln x , x 0, ，
x x
h x ln x ln x ln x x
2 1
则 2 0，x x 2
∴ h x 在区间 0， 内单调递增，
又 h 1 0，
h x g x g 1 ∴ 1 1 0，即 g x1

g
1
.
x1 x1
又 g x2 g x1 ，∴ g
1 x2 g ，
x1
又 x 12 1， 1， g x 在区间 1， 内单调递减.x1
1
∴ x2 ，即 xx 1
x2 1，
1
又 x1 x
2 2
2，∴ x1 x2 2x1x2 2，得证.
16