辽宁省辽东南协作体2024-2025学年高三上学期10月月考试题 数学（PDF版，含答案）

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高三数学试题 参考答案
一．选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
二．选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A B C D C B D A AC BD BC
三．填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. [1,+∞) 13.(4,+∞) 14.7
四．解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分 13 分）
解：因为 f (x) g(x) h(x) ；
（Ⅰ） f (x) sin(x )cos x ( 3 sin x 1 cos x)cos x 3 sin xcos x 1 cos2 x
6 2 2 2 2
3 1
sin 2x 1 1 cos 2x
2 2 2 2
3
sin 2x 1 cos 2x 1
4 4 4
1
sin(2x ) 1 ，
2 6 4
所以 f (x) 的最小正周期是 ． ………………7 分

（Ⅱ）因为 0≤x≤ ，
2
2x 所以 ≤ ≤ ，
6 6 6
1
所以 ≤ sin(2x

)≤1，
2 6
1 1 1 1
所以 ≤ sin(2x ) ≤ ，
2 2 6 4 4
2x 1当 ，即 x 0 时， f (x) 有最小值 ． ………………13 分
6 6 2
16.（本小题满分 15 分）
解(1)f'(x)=3x2-3a=3(x2-a),当 a≤0 时,f'(x)≥0,函数 f(x)在 R 上单调递增,无极值;
当 a>0 时,令 f'(x)>0,解得 x<- 或 x> ,
令 f'(x)<0,解得- ∴函数 f(x)在(-∞,- ),( ,+∞)上单调递增,在(- )上单调递减,
∴函数 f(x)在 x=- 处取得极大值 f(- )=2a ,
在 x= 处取得极小值 f( )=-2a .………………8 分
(2)由(1)知,当 a≤0 时,函数 f(x)在[0,2]上单调递增,
故 f(x)max=f(2)=8-6a.
当 0又 f(0)=0,f(2)=8-6a,
∴当 0当 当 a≥4 时,函数 f(x)在[0,2]上单调递减,f(x)max=f(0)=0.
综上,当 a≤ 时,函数 f(x)在[0,2]上的最大值为 8-6a;
当 a> 时,函数 f(x)在[0,2]上的最大值为 0.………………15 分
17.（本小题满分 15 分）
解：（1） f (x) 3sin(2x ) cos(2x ) 2sin

2x
6
将函数 f (x)

的图象向左平移 个单位长度后，所得函数为
3
y 2sin 2 x
2sin 2x 5
3

6 6
5
∴

k ,k Z ∴ k ,k Z
6 2 3
又 | |

∴


2 3
∴
f (x) 2sin 2x
6 .……...……7 分
（2）∵ x

,
5 ∴2x ,
2
6 12 6 6 3

2x x 当 ，即 时， f (x) 单调递增；
6 6 2 6 3

当 2x
2 5
，即 x 时， f (x) 单调递减.
2 6 3 3 12
f 2 f 1, f 5 且 ， 3 .
3 6 12
f (x) a , 5 ∵方程 在 上恰有两个实数根. 6 12
∴ 3 a 2∴实数 a 的取值范围为[ 3, 2) .
……...……15 分
18.（本小题满分 17 分）
1
【答案】(1) , (2) , 4
e
(1) f (x) x ln x 定义域为 (0, )， f (x) ln x+1
f (x) 0 1即 ln x+1 0解得 x
e
f (x) 1所以 在（ , )单调递增………………7 分
e
(2)对任意 x 0, ，不等式 f x 1 g x x ln x 1 x2恒成立，即 ax 3 恒成立，
2 2
分离参数得 a 2ln x x
3
.
x
令 h x 2ln x x 3 x 3 x 1 x 0, x ，则 h x 2 ． x
当 x 0,1 时， h x 0， h x 在(0,1) 上单调递减；
当 x 1, 时， h x 0， h x 在 1, 上单调递增.
所以 h x h 1min 4，即 a 4，
故 a 的取值范围是 , 4 .………………17 分
19.（本小题满分 17 分）
解：（Ⅰ）集合 M 具有性质 P ；……………………………… …………...……2 分
集合 N 不具有性质 P ．………………………………………………... ………4 分
（ Ⅱ ） （ i ） 取 i j n ， 由 题 知 存 在 k , t （ 1≤ k ≤ n, 1≤ t ≤ n ） ， 使 得
(an an ak )(an an at ) 0成立，即 ak (2an at ) 0 ，………..…6 分
又 2an at ，故必有 ak 0．…………...………….……………………8 分
又因为 0≤ a1 a2 a3 L an ，所以 a1 0．……..……………..10 分
（ ii ）由（ i ）得 a1 0，当 i≥ 2时，存在 k , t （ 1≤ k ≤ n, 1≤ t ≤ n ）使得
(an ai ak )(an ai at ) 0成立，又因为 an ai at (an at ) ai 0，故
an ai ak 0 ，即 an ai ak ．所以 an ai A (i 1,2L ,n) ．….……12 分
又 0 a1 a2 L an 1 an ，所以 an a1 an a2 L an an 1 an an ，
故 an a1 an ,an a2 an 1,L ,an an 1 a2 ,an an a1 ，…………….. 15 分
相加得：
nan (a1 a2 L an ) (a1 a2 L an )
n
，即 an a1 a2 L an ． 2
………….……17 分