2024-2025学年天津市河西区海河中学高三（上）第一次质检数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津市河西区海河中学高三（上）第一次质检数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则等于( )
A. B. C. D.
2.在中，角，，所对的边分别为，，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知，，则( )
A. B. C. D.
4.下列函数是偶函数的是( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，若满足，，则( )
A. B. C. D.
6.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
7.已知向量，满足：，，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
9.设，函数，若函数在区间内恰有个零点，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知是虚数单位，复数 ______．
11.已知等差数列，其前项和为，，则 ______， ______．
12.若正数，满足，则的最小值为______．
13.已知函数在时有极值，则______．
14.已知，则等于______．
15.在边长为的正方形中，点为线段的三等分点，，，则 ______；为线段上的动点，为中点，则的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数．
求的对称中心坐标；
当时，求函数的单调递减区间；求函数的最大值、最小值，并分别求出使该函数取得最大值、最小值时的自变量的值．
17.本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ求函数的单调区间；
Ⅲ若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围．
18.本小题分
在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
求点到的距离．
19.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
求；
若，求的值；
若的面积为，，求的周长．
20.本小题分
已知函数，当时，取得极小值．
Ⅰ求，的值；
Ⅱ记，设是方程的实数根，若对于定义域中任意的，当，且时，问是否存在一个最小的正整数，使得恒成立，若存在请求出的值；若不存在请说明理由．
Ⅲ设直线：，曲线：若直线与曲线同时满足下列两个条件：
直线与曲线相切且至少有两个切点；
对任意都有则称直线为曲线的“上夹线”．
试证明：直线：是曲线：的“上夹线”．
参考答案
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16.解：由题意可知：
，
令，可得，
所以的对称中心坐标为，；
因为，所以，
因为，的单调递减区间是，
则由，可得，
所以的单调递减区间为；
由可知：
当时，单调递增，
当时，单调递减，
且，，
，
所以当时，取最大值为，
当时，取最小值为．
17.解：Ⅰ当时，，
，
所以，，
所求的切线方程为．
Ⅱ，
时，，在上单调递增；
时，由，得，
当时，；当时，，
即当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．
Ⅲ当时，由得，
令，，，
，在上单调递增；
，在上单调递减．
又，，，
的取值范围是．
18.证明：如图，取中点，连接，，
因为为中点，，，，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为为中点，为中点，则，
又平面，平面，所以平面，
因为，，平面，所以平面平面，
又平面，故D平面；
解：根据题意，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
由条件可得，，，，，，
则，
设平面的法问量为，
则，解得，
取，则，，所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
由可知，，
所以点到的距离为．
19.解：因为，由正弦定理可得，
所以，
即，
所以，
因为为三角形内角，，解得，，
所以．
由已知，，所以，
所以，，
所以．
因为，
所以，
由余弦定理得，
即，解得，
所以的周长为．
20.解：Ⅰ解：由已知，
于是得：，代入可得：，，
此时，．
当时，； 当时，，
当时，取得极小值，即，符合题意；
Ⅱ不妨设，因为，为增函数，，
又，为减函数，，
，
即，
故存在最小正整数，使得恒成立
Ⅲ 证明：由，得，
当时，此时，
是直线与曲线的一个切点，
当，此时，，
也是直线与曲线的一个切点，
即直线与曲线相切且至少有两个切点，
对任意，，
即，因此直线：是曲线：的“上夹线”．
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