2024-2025学年福建省百校联考高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年福建省百校联考高三（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，若，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
3.已知奇函数，则( )
A. B. C. D.
4.若函数在上不单调，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.设是数列的前项和，且，，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若函数的值域与的值域相同，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知，函数与的图象在上最多有两个公共点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，，则下列命题正确的是( )
A. 若且，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.已知函数的定义域为，对于，，恒有，且当时，，则下列命题正确的有( )
A.
B.
C.
D. ，，
11.已知数列的前项和为，，且，若，，则下列说法正确的是( )
A.
B. 数列为等差数列
C. 数列中的最小项为
D. 数列的前项和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的值域为，则实数的取值范围是______．
13.已知数列满足，，且，则 ______．
14.已知不等式恒成立，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
当时，求的对称轴方程和最大值；
若，且在区间上单调递增，求在区间上的极值点个数．
16.本小题分
已知函数．
若，求满足的的取值范围；
若对任意，恒成立，求的取值范围．
17.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
当时，求在区间上的零点个数．
18.本小题分
设，分别为数列，的前项和，，数列是公比为的等比数列，．
求，的通项公式；
比较和的大小．
19.本小题分
如图，在求解一些函数零点的近似值时，常用牛顿切线法进行求解牛顿切线法的计算过程如下：设函数的一个零点，先取定一个初值，曲线在处的切线为，记与轴的交点横坐标为，曲线在处的切线为，记与轴的交点横坐标为，以此类推，每进行一次切线求解，我们就称之为进行了一次迭代，若进行足够多的迭代次数，就可以得到的近似值，设函数，令．
证明：存在唯一零点，且；
已知，证明：；
经过次迭代后，判断的近似值与的差值小于．
参考答案
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15.解：当时，，
所以的最大值为，
令，解得，
所以的对称轴方程为．
由可知，
当时，，
所以，解得，
因为，所以，，
则的对称轴为，
当时，，解得，，
所以在区间上有且仅有两个极值点．
16.解：时，，
由不等式，得，所以，
所以，解得，
所以不等式的解集为．
由不等式，得，
即，
等价于对任意恒成立，
设，即对任意恒成立，
设，
当时，，解得，
当时，，无解，
综上，的取值范围是．
17.解：当时，，则，
，，
则切线方程为，即；
当时，，，
当时，；当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
，，且，
由函数零点存在定理可知，存在，使得，
当时，，单调递增，
又，
存在，使得，
当时，，，无零点．
综上，在区间上有且仅有两个零点．
18.解：由，取，得，
，，
由，得，即，解得，
；
由，可知，则为等差数列，
，
故；
当时，由，得，
累加得，，
，．
当是奇数时，，
当是偶数时，记，，
单调递增，可得，
，即．
综上，当是奇数时，；当是偶数时，．
19.证明：，单调递增，
，，
存在唯一零点，且．
证明：在点处的切线方程为，
令，解得，
，
易知，
，
要证，只需证，
即，
，
．
解：由可知，，
，
，
，
因此经过次迭代后，的近似值与的差值小于．
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