2024-2025学年天津市耀华中学高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津市耀华中学高三（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.全集，集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.“成立”是“成立”的( )
A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知函数，则的图象大致为
A. B.
C. D.
4.若函数的一个对称中心是，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.函数是( )
A. 奇函数且在上单调递增 B. 奇函数且在上单调递增
C. 偶函数且在上单调递增 D. 偶函数且在上单调递增
6.在等差数列中，，公差，若，则的值为( )
A. B. C. D.
7.记实数，，，中的最大数为，最小数为则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若，，，使得成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D. 或
9.已知，，对任意的，存在实数，满足，使得，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知方程有解，则的取值范围是______．
11.已知，，，则的最小值为______．
12.已知，且，均为锐角，则的值等于______．
13.函数的图象与函数，的图象所有交点的横坐标之和等于______．
14.将的图象向右平移单位，使得平移后的图象仍过点，则的最小值为______．
15.已知数列满足，，且，则该数列的通项公式 ______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且，，成等差数列．
Ⅰ若，，求的值；
Ⅱ设，求的最大值．
17.本小题分
已知函数，其图象经过点，且与轴两个相邻的交点的距离为．
求的解析式；
在中，，，，求的面积．
18.本小题分
在三棱柱中，侧面为矩形，，，是的中点，与交于点，且平面．
证明：；
若，求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
已知数列前和为，且，．
求数列的通项公式；
令，求数列的前和为；
记，是否存在实数，使得对任意的，恒有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
20.本小题分
已知为实数，函数．
是否存在实数，使得在处取极值？证明你的结论；
若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围；
设，若存在，使得成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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15.
16.解：Ⅰ因为，，成等差数列，所以．
因为，所以．
因为，，，所以，解得，或舍去．
Ⅱ因为，所以，
．
因为，所以，．
所以当，即时，有最大值．
17.解：依题意，，
函数
，且，
，，
．
，，，，
，，
，
在三角形中，，，

18.证明：由题意，因为是矩形，
为中点，，，，
所以在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
所以，
又，所以，
所以在三角形中，，
即，
又因为侧面，侧面，
所以，
因为，所以平面，
因为平面，
所以．
解：如图，分别以，，所在的直线为，，轴，以为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则根据，可得是平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
19.解：令，解得，
，
，
两式相减得：，
数列是首项为，公比为的等比数列，
；
由得：，
则

由得：；
当为奇数时，
，
，
两式做差得：n=2 3-3λ 2＞0
移项得：
解得：，
当为偶数时，
，
，
两式做差得：n=2 3+3λ 2＞0
移项得：
解得：，
故为奇数时，且；
为偶数时，且．
20.解：函数 定义域为，
，
假设存在实数，使在处取极值，则，，
此时，，
当时，， 递增；当时，，递增．
不是的极值点．
故不存在实数，使得在处取极值．
，
当时，， 在上递增，成立；
当时，令，则或，
在上递增，
在上存在单调递增区间，
，解得：，
综上，即实数的取值范围是
在上存在一点，使得成立，
即在上存在一点，使得，
即函数在上的最小值小于零．
，
当，即时，在上单调递减，
所以的最小值为，
由可得，
因为，所以；
当，即时，在上单调递增，
所以最小值为，
由可得；
当，即时，
可得最小值为，
因为，所以，，
故，
此时不存在使成立．
综上可得所求的范围是：
解法二：由题意得，存在，使得成立．
令，在上单调递增，
且，
故存在，
使得时，；时，，
故存在时，使得成立，
或存在时，使得成立，
记函数，
当时，
递增，且，
当时，，即，
在上单调递减，在上也是单调递减，
由条件得：
由条件得：
综上可得，实数的取值范围是．
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