2024-2025学年上海市浦东新区南汇中学高三（上）段考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年上海市浦东新区南汇中学高三（上）段考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为( )
A. B. C. D.
2.已知函数恒过定点，则( )
A. B. C. D.
3.已知顶点在原点的锐角绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，则的值为( )
A. B. C. D.
4.如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是( )
A. 有极小值点，没有极大值点
B. 有极大值点，没有极小值点
C. 至少有两个极小值点和一个极大值点
D. 至少有一个极小值点和两个极大值点
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.集合，则中元素的个数为______．
6.函数从到的平均变化率是______．
7.不等式的解集为______．
8.已知，且，则 ______．
9.若，则 ______．
10.不等式的解集为______．
11.在中，内角，，的对边分别是，，，若，，则 ______．
12.已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 ．
13.若函数的值域为，则实数的值为______．
14.若函数是奇函数，则 ______．
15.如图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边处，乙工厂与甲工厂在河的同侧，且位于离河岸的处，河岸边处与处相距其中，两家工厂要在此岸边建一个供水站，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米元和元，供水站建在岸边距离处______才能使水管费用最省．
16.已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合．
若，求；
“”是“”的充分非必要条件，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知为奇函数，其中，．
求函数的最小正周期和的表达式；
若，求的值．
19.本小题分
流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究经过分钟菌落的覆盖面积为，经过分钟覆盖面积为，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积单位：与经过时间单位：的关系现有三个函数模型：，，可供选择参考数据：，
选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式；
在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过？结果保留到整数
20.本小题分
设为实数，函数，．
判断函数的奇偶性，并说明理由；
当时，求函数的最小值；
对于函数，在定义域内给定区间，如果存在，满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个“均值点”如函数是上的平均值函数，就是它的均值点现有函数是区间上的平均值函数，求实数的取值范围．
21.本小题分
设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图像若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”．
判断点与点是否为函数的度点，不需要说明理由；
已知，证明：点是的度点；
求函数的全体度点构成的集合．
参考答案
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17.解：，，
若时，则，
则；
“”是“”的充分非必要条件，
则，
，则，
则的取值为．
18.解：最小正周期是，
因为为奇函数，所以，
化简得对于恒成立，
，所以，；
结合已知可得，，，
．
19.解：因为的增长速度越来越快，
和的增长速度越来越慢，
所以应选函数模型．
由题意得，解得，
所以该函数模型为；
由题意得，即，
所以，
又，
所以至少经过培养基中菌落的覆盖面积能超过．
20.解：函数的定义域为，
当时，，，为偶函数，
当时，，，，，为非奇非偶函数，
综上，当时，为偶函数，当时，为非奇非偶函数．
当时，，
当时，函数在上递增，，
当时，函数，，
，的最小值为
是区间的平均值函数
存在，使，又，
存在，使得 ，
即关于的方程在内有解，
由得，解得或，
，．
故的取值范围为．
21.解：由题意，设，则曲线在点处的切线方程为，
该切线过原点时，，解得，故原点是函数的一个度点；
又因为该切线过点，所以，
设，则，令，得，
所以时，，单调递减；时，，单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，且，
所以无解，点不是函数的度点；
证明：设，，则曲线在点处的切线方程为，
则该切线过点，当且仅当，
设，，时，，
故在区间上单调递增，
当时，，恒不成立，即点是的一个度点；
，
对任意，曲线在点处的切线方程为，
故点为函数的一个度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解，
设，则点为函数的一个度点，当且仅当有两个不同的零点，
若，则在上严格增，只有一个零点，不合要求；
若，，令得或，
由或时，，得严格增；当时，，得严格减，
故在时取得极大值，在时取得极小值，
又，，
当时，由零点存在定理，在，，上各有一个零点，不合要求；
当时，仅上有一个零点，不合要求；
当时，仅上有一个零点，也不合要求；
故有两个不同零点当且仅当或，
若，同理可得有两个不同零点当且仅当或，
综上，函数的全体度点构成的集合为或，．
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