2024-2025学年天津市和平区益中学校高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津市和平区益中学高三（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.若，下列选项中，使“”成立的一个必要不充分条件为( )
A. B. C. D.
3.已知命题：，总有，则为( )
A. ，使得 B. ，使得
C. ，总有 D. ，总有
4.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
5.设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.( )
A. B. C. D.
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.已知，，若对，总，使成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
9.已知函数，函数有个零点，则非零实数的取值范围是( )
A. ， B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知是虚数单位，化简的结果为______．
11.已知与是两个不共线的向量，，，，若，，三点共线，则 ______．
12.如果关于的不等式对一切实数都成立，那么的取值范围是______．
13.函数，，且的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为______．
14.已知函数给出下列结论：
的最小正周期为；
在上单调递增；
把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是______．
15.如图，在四边形中，，，，且，，则实数的值为______，若，是线段上的动点，且，则的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，已知．
求角的大小；
求的值；
求的值．
17.本小题分
已知函数，，下列命题中：
求的最小正周期；
函数最大值；
求的单调增区间．
18.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，已知，，．
求的值；
求的面积；
求的值．
19.本小题分
已知函数其中为常数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
求的单调区间；
若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
20.本小题分
已知，函数，．
若函数的减区间是，求的值；
讨论的单调性；
若方程在上恰有两个不同的解，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
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4.
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6.
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8.
9.
10.
11.
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13.
14.
15.
16.解：由余弦定理以及，，，
则，
，
；
由正弦定理，以及，，，
可得；
由，及，可得，
则，
，
．
17.解：由题意可得：
，
所以函数的最小正周期为．
因为，，
所以函数最大值为．
令，
得，
所以函数的单调增区间为．
18.解：在中，因为，，，
所以由余弦定理，
得；
在中，因为，，，
则，，
所以的面积；
在中，由正弦定理，
可得，
，所以，
又，，
所以．
19.解：当时，，
则，，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
的定义域为，
由，得，
当时，，当时，，
所以的递增区间为，递减区间为，
由可知当取得最大值，
因为对任意，不等式恒成立，
所以，即，，
解得或，
即的取值范围为．
20.解：，
因为函数的减区间是，
所以和为导函数等于零的两个根，
所以．
因为，
当时，恒成立，此时在上恒为增函数，
当时，令，解得或，
所以在，上为单调递增函数，在上为单调递减函数；
当时，在，上为单调递增函数，在上为单调递减函数；
综上所述，当时，在上恒为增函数；
当时，在，上为单调递增函数，在上为单调递减函数；
当时，在，上为单调递增函数，在上为单调递减函数；
原问题等价于函数与函数图像在上有两个交点．
，
令，
所以在上为单调递减函数，在上为单调递增函数，
作出函数图像如下：
因为，，，
因为，
所以实数的取值范围为．
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