2024-2025学年北京市西城区第三十五中学高三上学期10月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市西城区第三十五中学高三上学期10月月考
数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的是
A. B. C. D.
4.在的展开式中，常数项是( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则函数( )
A. 是偶函数，且在上单调递增 B. 是奇函数，且在上单调递减
C. 是奇函数，且在上单调递增 D. 是偶函数，且在上单调递减
6.阅读下段文字：“已知为无理数，若为有理数，则存在无理数，使得为有理数；若为无理数，则取无理数，，此时为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是( )
A. 是有理数 B. 是无理数
C. 存在无理数，，使得为有理数 D. 对任意无理数，，都有为无理数
7.若点在角的终边上，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，则“”是“函数在区间上存在零点”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵记鲑鱼的游速为单位：，鲑鱼的耗氧量的单位数为科学研究发现与成正比当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为当
时，其耗氧量的单位数为( )
A. B. C. D.
10.已知各项均为整数的数列满足，则下列结论中一定正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.复数的虚部为 ．
12.函数的定义域为，请写出满足题意的一个实数的值 ．
13.已知数列的通项公式为，的通项公式为记数列的前项和为，则 ；的最小值为 ．
14.已知函数的零点为 ，若存在实数使有三个不同的解，则实数的取值范围为 ．
15.已知函数，给出下列四个结论：
当时，恰有个零点；
存在正数，使得恰有个零点；
存在负数，使得恰有个零点；
对任意只有一个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于两点点的纵坐标是，点的横坐标是．
求的值；
求的值．
17.本小题分
某校举办知识竞赛，已知学生甲是否做对每个题目相互独立，做对三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示．
题目
做对的概率
获得的奖金元
规则如下：按照的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题．
注：甲最终获得的奖金为答对的题目相对应的奖金总和
求甲没有获得奖金的概率；
求甲最终获得的奖金的分布列及期望；
如果改变做题的顺序，最终获得的奖金期望是否相同？如果不同，你认为哪个顺序最终获得的奖金期望最大？不需要具体计算过程，只需给出判断
18.本小题分
已知．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围．
19.本小题分
现有一张长为，宽为的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为，不考虑焊接处损失如图，在长方形的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为，高为，体积为．
求出与的关系式；
求该铁皮盒体积的最大值．
20.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求的单调区间；
当时，判断与的大小，并说明理由．
21.本小题分
已知项数为的数列满足如下条件：；若数列满足其中则称为的“伴随数列”．
数列是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；
若为的“伴随数列”，证明：；
已知数列存在“伴随数列”且求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.答案不唯一
13.

14.

15.
16.由题可知，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于两点；
点的纵坐标是，点的横坐标是，
所以．
即可得．
由于，且，所以，
同理由于，
所以．

17.甲没有获得奖金，则题目没有做对，
设甲没有获得奖金为事件，则．
分别用表示做对题目的事件，则相互独立．
由题意，的可能取值为．
．
所以甲最终获得的奖金的分布列为
元．
不同，按照的顺序获得奖金的期望最大，理由如下：
由知，按照的顺序获得奖金的期望为元，
若按照的顺序做题，
则奖金的可能取值为．
．
故期望值为元；
若按照的顺序做题，
则奖金的可能取值为．
．
故期望值为元；
若按照的顺序做题，
则奖金的可能取值为．
．
故期望值为元，
若按照的顺序做题，
则奖金的可能取值为．
．
故期望值为元，
若按照的顺序做题，
则奖金的可能取值为．
．
故期望值为元，
显然按照的顺序获得奖金的期望最大．

18.当时，，
易知
可得，
所以切线方程为．
易知
由函数在区间上为增函数，可得在上恒成立，
即在上恒成立，
令
法一：
令，得，
的变化情况如下：
所以为上的增函数，最大值为．
即的取值范围是．
法二：
当时，；
当时，．
综上，当时，为上的增函数，最大值为．
即的取值范围是．

19.因为材料利用率为，
所以，即；
因为长方形铁皮长为，宽为，故，
综上，，；
铁皮盒体积，
，令，得
的变化情况如下：
在上为增函数，在上为减函数，
则当时，取最大值，
最大值为．

20.【详解】函数，求导得，则，而，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
函数的定义域为，且，
当时，，当或时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为和．
当时，，证明如下：
令，求导得，
令，求导得，
函数在上单调递增，则，即，
函数在上为增函数，当时，，
所以．

21.不存在理由如下：因为，所以数列不存在“伴随数列”．
因为，
又因为，所以，所以，即，所以成立．
，都有，因为，，
所以，所以．
因为，
所以．
而，即，
所以，故．
由于，经验证可知所以的最大值为．

第1页，共1页