2024-2025学年北京市海淀区育英学校高三上学期10月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市海淀区育英学校高三上学期10月月考数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面上，复数所对应的点在第二象限，则实数的值可以为( )
A. B. C. D.
3.的值为( )
A. B. C. D.
4.下列函数中，是奇函数且在其定义域上为增函数的是( )
A. B. C. D.
5.平面向量与向量满足，且，，则向量与的夹角为
A. B. C. D.
6.已知函数的部分图象如图所示，则的值是( )
A. B. C. D.
7.设，，，则( )
A. B. C. D.
8.在中，，则“”是“是钝角三角形”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.分贝、奈培均可用来量化声音的响度，其定义式分别为，，其中为待测值，为基准值．如果，那么 参考数据：
A. B. C. D.
10.已知点集设非空点集，若对中任意一点，在中存在一点与不重合，使得线段上除了点外没有中的点，则中的元素个数最小值是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域为 ．
12.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称若，则的最大值为 ．
13.已知平面内四个不同的点，，，满足，则 ．
14.已知函数其中．
当时，函数的单调递增区间为 ；
若函数的值域为，存在实数，则的取值范围为 ．
15.已知函数的部分图象如图所示，、分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于，点为该部分图象与轴的交点将绘有该图象的纸片沿轴折成直二面角，如图所示，此时，则 ．
给出下列四个结论：
；
图中，；
图中，过线段的中点且与垂直的平面与轴交于点；
图中，是及其内部的点构成的集合设集合，则表示的区域的面积大于．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，．
求；
再从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．
条件：；
条件：；
条件：．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．
17.本小题分
已知函数，．
求曲线在点处的切线方程；
求函数在上的最大值；
求证：存在唯一的，使得．
18.本小题分
已知函数．
求的单调递减区间；
设当时，的取值范围为，求的最大值．
19.本小题分
已知数列的前项和满足，．
如果，求数列的通项公式；
如果，求证：数列为等比数列，并求；
如果数列为递增数列，求的取值范围．
20.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若在区间上恒成立，求的取值范围；
试比较与的大小，并说明理由．
21.本小题分
给定整数，数列、、、每项均为整数，在中去掉一项，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为将、、、中的最小值称为数列的特征值．
Ⅰ已知数列、、、、，写出、、的值及的特征值；
Ⅱ若，当，其中、且时，判断与的大小关系，并说明理由；
Ⅲ已知数列的特征值为，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：因为 ，由余弦定理得 ，
又因为 ，所以 ．
由知 ，
若选： ， ，
由 ，可得 ，
由正弦定理 ，可得 ，解得 ，则 ，
又由余弦定理 ，可得 ，
即 ，解得 或 舍去，
所以 的面积为 ．
若选： 且 ，
由 ，可得 ，
因为 ，可得 ，
由正弦定理 ，可得 ，解得 ，
所以 的面积为 ．
若选：： 且 ，
因为 ，可得 ，整理得 ，
解得 ，不符合题意，舍去．

17.解：Ⅰ由，得，
所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为：，
即：；
Ⅱ令，得，
当变化时，变化情况如下表：
单调递减 极小值 单调递增
因为，，
所以函数在区间上的最大值为；
Ⅲ证明：设，
则，
令，得．
当变化时，变化情况如下表：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
则的增区间为，，减区间为，
又，，所以函数在没有零点，
又，
所以函数在上有唯一零点，
综上，在上存在唯一的，使得
18.解：Ⅰ函数的单调递减区间满足的条件为：，，
解得：，，
所以的单调递减区间为；
Ⅱ由题意可得：
，
由时，可得，
由的取值范围为，可得，
所以，
解得，
所以的最大值为
19.时，，
当时，，
当时，，
所以．
证明：当时，，
所以，
相减得：．
所以，
又有，在时，可得：，，
所以数列为首项为，公比为的等比数列，
所以，．
由可知，显然
当时，则，得．
当时，，
，
相减得，
即．
因为，所以．
所以为等比数列．
所以．
因为数列为递增数列，
所以或
所以的取值范围是或．

20.解：当 时， ，
，
所以曲线 在点 处切线的斜率 ，又 ，
所以曲线 在点 处切线的方程为 即 ．
在区间 上恒成立，即 ，对 ，
即 ，对 ，
令 ，只需 ，
， ，
当 时，有 ，则 ，
在 上单调递减，
符合题意，
当 时，令 ，
其对应方程 的判别式 ，
若 即 时，有 ，即 ，
在 上单调递减，
符合题意，
若 即 时， ，对称轴 ，又 ，
方程 的大于的根为 ，
， ，即 ，
， ，即 ，
所以函数 在 上单调递增， ，不合题意．
综上， 在区间 上恒成立，实数 的取值范围为 ．
由知，当 时， ，在区间 上恒成立，
即 ，对 ，
取 代入上式得 ，化简得 ．

21.Ⅰ由题知：，，，
的特征值为；
Ⅱ．
理由如下：由于，可分下列两种情况讨论：
当、时，
根据定义可知：，
同理可得：．
所以，所以
当、时，同理可得：
，
所以，所以
综上有：；
Ⅲ不妨设，
，
显然，，
．
当且仅当时取等号；．
当且仅当时取等号；
由Ⅱ可知、的较小值为，
所以．
当且仅当时取等号，
此时数列为常数列，其特征值为，不符合题意，则必有
．
下证：若，，总有．
证明：
．
所以．
因此
．
当时，可取到最小值，符合题意．
所以的最小值为．

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