2024-2025学年北京市海淀区第二十中学高三上学期10月月考数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年北京市海淀区第二十中学高三上学期10月月考数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 305.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-20 09:42:37 | ||
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文档简介
2024-2025学年北京市海淀区第二十中学高三上学期10月月考
数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.下列函数中，值域为且为偶函数的是( )
A. B. C. D.
4.已知，且，则下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
5.已知函数，若，，，则，，从小到大排序是( )
A. B. C. D.
6.的值可以为( )
A. B. C. D.
7.在中，，，，若满足条件的有个，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，，且在且单调，则的最大值为( )
A. B. C. D.
9.设为等比数列，则“对于任意的，”是“数列为递减数列”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”明：增广贤文是勉励人们专心学习的．假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过 天“进步者”是“退步者”的倍参考数据：，，
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域是 ．
12.等差数列中，若为的前项和，则 ．
13.已知函数的部分图象如图所示，则 ； ．
14.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点间的距离为 ．
15.已知函数，
(ⅰ)若在上单调，则的取值范围是 ；
(ⅱ)若对任意的，，则的最大值为 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列．
求的通项公式；
求数列的前项和．
17.本小题分
已知函数，且图象的相邻两条对称轴间的距离为．
求的值；
求在区间上的单调递增区间．
18.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
当时，求函数的最大值与最小值．
19.本小题分
在中，已知，请从下列三个条件中选择两个，使得存在，并解答下列问题：
求的大小；
求和的值．
条件：；条件：；条件：．
20.本小题分
设函数，其中．
Ⅰ已知函数为偶函数，求的值；
Ⅱ若，证明：当时，；
Ⅲ若在区间内有两个不同的零点，求的取值范围．
21.本小题分
已知有限集，，定义集合，表示集合中的元素个数．
若，求集合和，以及的值；
给定正整数，集合，对于实数集的非空有限子集，，定义集合
求证：；
求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.设等比数列的公比为，且，
因为，，成等差数列，则，
即，解得或舍去，
所以的通项公式为．
由可知：，
则
，
所以．
17.由题意可得：
，
设的最小正周期为，
由题意可知：，即，
且，则，所以．
由可知：，
因为，则，
且在，内单调递增，在内单调递减，
令，，解得，，
所以在区间上的单调递增区间为和．
18.因为，则，
可得，
即切点坐标为，切线斜率为，
所以切线方程为．
由可得，
且，则，
令，则，解得；
令，则，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
又因为，且，
所以函数的最大值为，最小值．
19.若选择：，，
在中，由正弦定理得．
因为，即，
可知，所以；
若选择：，，
在中，因为由正弦定理得．
在中，，即，
可知，所以；
若选：，，
因为，即，可知；
又因为，即，可知；
两者相矛盾，故不成立．
由可知：不能选．
若选择：在中，，即，可知，
且，可得，
则，
可知，则，
由正弦定理可得，
又因为，所以；
选择：在中，，即，可知，
且，可得，
则，
且，可得，
又因为，则，
由正弦定理可得．
20.解：Ⅰ函数为偶函数，
所以，即，
解得．
验证知符合题意．
Ⅱ证明：若，，
则，
由，得，，
则，即在上为增函数．
故，即．
Ⅲ由，得．
设函数，，
则．
令，得．
随着变化，与的变化情况如下表所示：
极大值
所以在上单调递增，在上单调递减．
又因为，，，
所以当时，方程在区间内有两个不同解，且在区间与上各有一个解．
即所求实数的取值范围为．
21.根据定义直接得，，．
显然．
若中含有一个不在中的元素，则，即
．
若，且，则
此时中最小的元素，中最小的元素，
所以中最小的元素．
所以．
因为，
所以，即．
综上，．
由知．
所以
若，或，则
若，且，设，
且，，
则，
若，
因为，
所以这个数一定在
集中中，且均不等于．
所以
所以
当，时，
所以的最小值是
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数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.下列函数中，值域为且为偶函数的是( )
A. B. C. D.
4.已知，且，则下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
5.已知函数，若，，，则，，从小到大排序是( )
A. B. C. D.
6.的值可以为( )
A. B. C. D.
7.在中，，，，若满足条件的有个，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，，且在且单调，则的最大值为( )
A. B. C. D.
9.设为等比数列，则“对于任意的，”是“数列为递减数列”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”明：增广贤文是勉励人们专心学习的．假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过 天“进步者”是“退步者”的倍参考数据：，，
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域是 ．
12.等差数列中，若为的前项和，则 ．
13.已知函数的部分图象如图所示，则 ； ．
14.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点间的距离为 ．
15.已知函数，
(ⅰ)若在上单调，则的取值范围是 ；
(ⅱ)若对任意的，，则的最大值为 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列．
求的通项公式；
求数列的前项和．
17.本小题分
已知函数，且图象的相邻两条对称轴间的距离为．
求的值；
求在区间上的单调递增区间．
18.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
当时，求函数的最大值与最小值．
19.本小题分
在中，已知，请从下列三个条件中选择两个，使得存在，并解答下列问题：
求的大小；
求和的值．
条件：；条件：；条件：．
20.本小题分
设函数，其中．
Ⅰ已知函数为偶函数，求的值；
Ⅱ若，证明：当时，；
Ⅲ若在区间内有两个不同的零点，求的取值范围．
21.本小题分
已知有限集，，定义集合，表示集合中的元素个数．
若，求集合和，以及的值；
给定正整数，集合，对于实数集的非空有限子集，，定义集合
求证：；
求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.设等比数列的公比为，且，
因为，，成等差数列，则，
即，解得或舍去，
所以的通项公式为．
由可知：，
则
，
所以．
17.由题意可得：
，
设的最小正周期为，
由题意可知：，即，
且，则，所以．
由可知：，
因为，则，
且在，内单调递增，在内单调递减，
令，，解得，，
所以在区间上的单调递增区间为和．
18.因为，则，
可得，
即切点坐标为，切线斜率为，
所以切线方程为．
由可得，
且，则，
令，则，解得；
令，则，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
又因为，且，
所以函数的最大值为，最小值．
19.若选择：，，
在中，由正弦定理得．
因为，即，
可知，所以；
若选择：，，
在中，因为由正弦定理得．
在中，，即，
可知，所以；
若选：，，
因为，即，可知；
又因为，即，可知；
两者相矛盾，故不成立．
由可知：不能选．
若选择：在中，，即，可知，
且，可得，
则，
可知，则，
由正弦定理可得，
又因为，所以；
选择：在中，，即，可知，
且，可得，
则，
且，可得，
又因为，则，
由正弦定理可得．
20.解：Ⅰ函数为偶函数，
所以，即，
解得．
验证知符合题意．
Ⅱ证明：若，，
则，
由，得，，
则，即在上为增函数．
故，即．
Ⅲ由，得．
设函数，，
则．
令，得．
随着变化，与的变化情况如下表所示：
极大值
所以在上单调递增，在上单调递减．
又因为，，，
所以当时，方程在区间内有两个不同解，且在区间与上各有一个解．
即所求实数的取值范围为．
21.根据定义直接得，，．
显然．
若中含有一个不在中的元素，则，即
．
若，且，则
此时中最小的元素，中最小的元素，
所以中最小的元素．
所以．
因为，
所以，即．
综上，．
由知．
所以
若，或，则
若，且，设，
且，，
则，
若，
因为，
所以这个数一定在
集中中，且均不等于．
所以
所以
当，时，
所以的最小值是
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