2024-2025学年甘肃省白银市靖远一中高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年甘肃省白银市靖远一中高三（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知非空集合，若，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
3.已知复数，则( )
A. B. C. D.
4.已知，其中，若，则正实数取值范围( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
5.已知函数，下列结论正确的是( )
A. 函数的减区间 B. 函数在上单调递减
C. 函数在上单调递增 D. 函数的增区间是
6.设，则( )
A. B. C. D.
7.已知正实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.将函数的图象向左平移个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，若与的图象关于轴对称，则的一个单调递增区间为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组函数是同一个函数的是( )
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
10.已知定义在上的函数满足：对，，，且，则以下结论正确的为( )
A. B. C. D.
11.下列说法正确的是( )
A. 至少有一个实数，使
B. “”是“”的充分不必要条件
C. 命题“，”的否定是假命题
D. “集合中只有一个元素”是“”的必要不充分条件
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域为______．
13.已知，若，使成立，则 ______．
14.已知定义域为的函数且满足，函数，若函数有个零点，则的取值范围为______；若方程的解为、、、，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的图象在点处的切线过点．
求实数的值；
求的单调区间和极值．
16.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，且．
求函数的解析式；
判断函数在上的单调性，并用定义证明；
求函数在上的值域．
17.本小题分
在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为万元，每生产一台需另投入元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入万元与年产量万台满足如下关系式：．
写出年利润万元关于年产量万台的函数解析式利润销售收入成本
当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润．
18.本小题分
在三棱柱中，侧面平面，，，侧面为菱形，且为中点．
证明：平面；
求二面角的余弦值．
19.本小题分
已知二次函数．
若的解集为，解关于的不等式；
若且，求的最小值；
若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值．
参考答案
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15.解：由已知得，
则，又，
所以图象在点处的切线方程为，
将点代入得，解得．
因为，定义域为，
所以，
令，，则，
易得在上恒成立，所以在上单调递增，
又，所以当时，，即，在上单调递减，
当时，，即，在上单调递增，
所以在处取得极小值，极小值为．
16.解：函数是定义在上的奇函数，
则，即有，
且，则，解得，
则函数的解析式：，，
因为满足，所以是奇函数，
即．
证明：设任意，满足，
则，
由于，则，，即，
又，
则有，即，
则在上是增函数．
由知，函数在上是增函数，
所以，即，
所以函数在上的值域为．
17.解：因为，
所以；
当时，，
由函数性质可知当时单调递增，所以当时，，
当时，，
由不等式性质可知，
当且仅当，即时，等号成立，所以，
综上当时，．
18.证明：根据题意，即，
又侧面平面，面平面，平面，
所以面，而面，所以，
侧面为菱形，为中点，所以，
，、平面，
所以平面；
解：取中点，连接，则，而，所以，
又侧面平面，面平面，平面，
所以面，
以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴，
建立空间直角坐标系，
由题知，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则由，，有，
取，得，
设平面的一个法向量为，
则由，，有，
取，得，
设二面角的夹角为，
则，
即二面角的余弦值为．
19.解：由已知的解集为，且，
所以，是方程的解，
所以，，
所以，，
所以不等式可化为，
所以，
故不等式的解集为．
因为 ，
所以
因为，所以，
由基本不等式可得，
当且仅当时等号成立，
即当且仅当， 时等号成立；
所以的最小值为；
因为对任意，不等式恒成立，
所以，，
所以，，
，
令，则，，
所以，
当且仅当， 时等号成立，
即当且仅当，时等号成立，
所以的最小值为．
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