2024-2025学年江苏省徐州市徐州三中高三（上）第二次调研数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省徐州三中高三（上）第二次调研数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.若，且，，则下列不等式一定正确的是( )
A. B. C. D.
4.若正四棱锥的高为，且所有顶点都在半径为的球面上，则该正四棱锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
5.若，则( )
A. B. C. D.
6.甲、乙、丙、丁、戊共名同学进行演讲比赛，决出第名到第名的名次已知甲和乙都不是第名，且丙和丁的名次相邻，则人的名次排列可能有种不同的情况．
A. B. C. D.
7.和是计算机中最基本的数字，被称为二进制数字若数列满足：所有项均是或，当且仅当其中为正整数时，，其余项为则满足的最小的正整数( )
A. B. C. D.
8.对于实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是( )
A.
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数在上单调递减
10.已知等比数列的前项和为，公比为，且满足，，则( )
A.
B.
C.
D. 若，则当最小时，
11.在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则( )
A. 与是异面直线
B. 存在点，使得，且平面
C. 与平面所成角的余弦值为
D. 点到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
12.已知，，，点是边上一点，若，则 ______．
13.若曲线与曲线有公共点，且在公共点处有公切线，则实数 ______．
14.如图，四边形由和拼接而成，其中，，若与相交于点，，，，且，则的面积 ______．
四、解答题：本题共4小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，且．
求；
若为边上的中点，求的长．
16.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
证明：当时，．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面平面，，．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求二面角的余弦值；
Ⅲ在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值？若不存在，说明理由．
18.本小题分
集合，将集合中的元素按由小到大的顺序排列成数列，即，，数列的前项和为．
求，，；
判断，是否是中的项；
求，．
参考答案
1.
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8.
9.
10.
11.
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13.
14.
15.解：因为，
由正弦定理得，
在中，，
则，
得，
因为，，
所以，即，，
又，则，
则，所以；
因为，
由，
所以，解得，
在中，由余弦定理得：
，
则，又为边上的中点，所以，
在中，由余弦定理得：
则，
在中，由余弦定理得：
，
所以．
16.解：因为，定义域为，，
当时，恒成立，所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
证明：由得，，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，
令，则；令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕．
17.解：Ⅰ在四棱锥中，
因为平面平面，平面平面，
又因为，在平面内，
所以平面，
因为在平面内，
所以；
Ⅱ取中点，连接，，
因为，
所以，
因为平面平面，平面平面，
因为在平面内，
所以平面，
所以，，
因为，，，
所以，，
所以四边形是平行四边形．
所以，
如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
设平面的法向量为，则，
则可取，
因为平面的法向量，
所以，
由图可知，二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为；
Ⅲ因为，，，
所以平面，
因为在平面内，
所以平面平面，
因为平面平面，
若在棱上存在点，使得平面，
则在平面内，
因为不在平面内，
所以不在平面，
所以在棱上不存在点，使得平面．
18.解：由，，，可得，
由，，，可得，
由，，，可得；
，
故，则是数列的项，
，
令，则，故，
故不是中的项；
当时，在集合中有个元素，
当时，在集合中有个元素，
当时，在集合中有个元素，
则集合一共有个元素，
故有项，
当时在集合中的个元素中最小的元素是，
最大元素是，
故的元素在中最大项是，最小项是，
令，则共有项，
则恰好是的元素在中的最大项，
则；
令，则一共有项，
记表示集合中的元素之和，则，
因为集合中的元素有个，
这些元素中含的个数是，含，，，的个数都是，
故，
则，
，
，
，
，
故，
故，．
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