2024-2025学年贵州省六盘水市高三（上）第一次诊断数学试卷（含答案）

2024-2025学年贵州省六盘水市高三（上）第一次诊断数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数是虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.“对任意实数都有”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知角的终边过点，则( )
A. B. C. D.
5.若，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.函数的值域为( )
A. B. C. D.
7.已知且，则( )
A. B. C. D.
8.已知抛物线：上的点到其焦点的距离是它到轴距离的倍，若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，过双曲线左右顶点，作的同一条渐近线的垂线，垂足分别为，，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的最大值为，且，，则下列说法正确的是( )
A. B. 图象的一条对称轴是
C. 在上单调递增 D. 函数是奇函数
10.图是某条公共汽车线路收支差额关于乘客量的图象由于目前本条线路亏损，公司管理者提出两种扭亏为赢的建议，具体方案分别用图和图表示，则( )
A. 图中乘客量为单位时，收支持平
B. 图中当乘客量为时，亏损单位
C. 图的建议可能为：提高票价并降低成本
D. 图的建议可能为：降低成本而保持票价不变
11.已知函数的定义域为，且，的图象关于对称当时，，若，则下列说法正确的是( )
A. 的周期为 B. 的图象关于对称
C. D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为锐角，且，则 ______．
13.函数的图象在点处的切线方程为______．
14.函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，，则满足方程的所有实数组成的集合为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
六盘水红心猕猴桃因富含维生素及、、等多种矿物质和种氨基酸，被誉为“维之王”某果农通过不断学习猕猴桃先进种植技术，年至年的年利润与年份代号的统计数据如下表已知该果农的年利润与年份代号之间呈线性相关关系．
年份
年份代号
年利润单位：千元
求关于的线性回归方程，并预测该果农年的年利润；
当某年利润的实际值大于该年利润的估计值时，该年为甲级利润年，否则为乙级利润年现从年至年这年中随机抽取年，求恰有年为甲级利润年的概率．
参考公式：回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，并计算得：，，．
16.本小题分
已知的三个角，，的对边分别是，，，且．
若，求；
若，，求的面积．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，且，，为中点．
求点到直线的距离；
求平面与平面所成夹角的余弦值．
18.本小题分
近年来，六盘水市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设．
求扇形的面积；
求矩形的面积；
当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．
19.本小题分
设为的导函数，若在区间上单调递减，则称为上的“凸函数”已知函数．
若为上的“凸函数”，求的取值范围；
证明：当时，有且仅有两个零点．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.根据表中的数列，计算可得，，
所以，
故，
所以关于的线性回归方程为，
当时，千元，
所以该果农年的年利润预测值为千元．
由可知年至年的年利润的估计值分别为，，，，单位：千元，
其中实际利润大于相应的估计值的有年，
故这年中甲级利润年的有年，乙级利润年的有年，
所以从年至年这年中随机抽取年，恰有年为甲级利润年的概率为．
16.解：因为，
所以，则，
因为，由正弦定理可得，
，
所以，由为三角形内角，故，
所以，又，
故；
由知，，
则，
由正弦定理可得，
由，且，
代入可得，
化简得，联立，
解得，，
又由可得，
则，
故．
17.解：因为，，所以，
因为平面，、平面，
所以且，
所以可以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则由题意，，
，
所以，
，
所以，
，又，
故点到直线的距离为；
因为，，，、平面，
所以平面，故是平面的一个法向量，
设是平面的一个法向量，
则由，，可得，令，可得，，
则平面的一个法向量为，
设平面与平面所成夹角为，
所以，
所以平面与平面所成夹角的余弦值为．
18.解：扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，
点在圆弧上，点在边上，且，米，设；
由题意，，扇形半径即米，
则扇形的面积为平方米；
在中，，，
在中，，则，
，
则停车场面积：
，，
所以，其中；
，其中，
由，
则当时，即时，，
当时，取得最大值，最大值为．
19.解：由，则．
由题意可知，为上的“凸函数”，
则在区间上单调递减，设，
则，所以在恒成立，
则在恒成立，
又当时，函数取最小值，且最小值为，
所以有，解得，
即的取值范围为．
证明：当时，由得
．
令，，其中，
则，其中．
当时，，
故H在无零点；
当时，由，则，
故故H在单调递增，
，且，
故由零点存在性定理可知在有且仅有一个零点；
当时，令，其中，
由在单调递增，
又，
故存在，使得，
故当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
由，
故存在，使，即，
故当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
又，
故当时，，即在无零点；
当时，则，，
所以，则在单调递增，
则恒成立，即在无零点；
综上所述，有且仅有两个零点，其中，而另一个零点在内．
由，即将图象向左移个单位可得的图象．
故也有两个零点，一个零点为，另一个零点在内．
故有且仅有两个零点，命题得证．
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