2024-2025学年江苏省扬州市高邮市高三（上）学情调研数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年江苏省扬州市高邮市高三（上）学情调研
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
2.已知，，那么“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.关于实数的不等式的解集是或，则关于的不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
4.若，则点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.将函数的图象向左平移个单位，所得的函数图象关于对称，则( )
A. B. C. D.
7.如图，在四边形中，的面积为，则长为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，的定义域均是，满足，，，则下列结论中正确的是( )
A. 为奇函数 B. 为偶函数
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各结论正确的是( )
A. “”是“”的充要条件
B. 命题“，有”的否定是“，使”
C. 的最小值为
D. 若，，则
10.某物理量的测量结果服从正态分布，下列选项中正确的是( )
A. 越大，该物理量在一次测量中在的概率越大
B. 该物理量在一次测量中小于的概率等于
C. 该物理量在一次测量中小于与大于的概率相等
D. 该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
11.已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为( )
A. 的图像关于轴对称
B. 不是的一个周期
C. 在区间上单调递减
D. 当时，的值域为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.命题“，”是假命题，则实数的取值范围为______．
13.已知，则 ______．
14.若对一切恒成立，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知
化简；
若，求的值．
16.本小题分
已知三棱锥，底面，，，，点是的中点，点为线段上一动点，点在线段上．
若平面，求证：为的中点；
若为的中点，求直线与平面所成角的余弦值．
17.本小题分
在每年的月份到月份，某品牌空调销售商发现：“每月销售量单位：台”与“当年的月份”线性相关根据统计得下表：
月份
销量
根据往年的统计得，当年的月份与销量满足回归方程请预测当年月份该品牌的空调可以销售多少台？
该销售商从当年的前个月中随机选取个月，记为销量不低于前个月的月平均销量的月份数，求的分布列和数学期望．
18.本小题分
已知锐角的内角，，，所对的边分别为，，，满足．
求角的大小；
若，求面积的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
讨论在区间上的单调性；
若在上有两个极值点，．
求实数的取值范围；
求证：．
参考答案
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15.解：根据诱导公式可得：，
即．
由得，
所以
，
即．
16.证明：连接，因为平面，平面，
平面平面，所以，
又因为是的中点，
所以是中点；
解：方法一：因为底面，，如图建立坐标系，
则，，，，
可得，，
设平面的法向量为，
则，
令，可得，
，，，
所以，，
设直线与平面所成角为，，
则，，
则，
因此直线与平面所成角的余弦值为．
方法二：过点作交于，连接，
因为底面，底面，则，
且，，，平面，则平面，
由平面，可得，且，
，平面，所以平面，
可知即为直线与平面所成角，
在中，，，
则，所以，
又，所以，则，
所以直线与平面所成角的余弦值为．
17.解：，
，
又回归直线过样本中心点，
，得，，
当时，，
预测当年月份该品牌的空调可以销售台；
，销量不低于前个月的月平均销量的月份数为，，，
，，，
，
的分布列为：
．
18.解：由，可得，
即，
根据正弦定理得，
因为，
即，
又因为，所以，
可得，所以，
因为，
所以；
在中，，由正弦定理，
可得，，
所以
，
因为为锐角三角形，可得，
解得，
所以，
所以
所以．
即面积的取值范围为．
19.解：函数，定义域为，，
当，即时，恒成立，则在上单调递增；
当，即或时，
令，得或，所以的单调递增区间是和，
令，得，所以的单调减区间是
综上所述：当时，单调递增区间是，无单调递减区间；
当或时，的单调递增区间是和，
单调减区间是；
因为在有两个极值点，，
所以在有两个不等零点，，
所以，解得，所以实数的取值范围为；
证明：由知，．
所以，
同理．
所以，
设，所以，
所以函数在区间上单调递减，
所以，所以．
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