2024-2025学年北京市丰台区第二中学高三上学期10月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市丰台区第二中学高三上学期10月月考数学试题
1.已知集合，，那么( )
A. B. C. D.
2.设复数满足，则在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知角的终边经过点，则( )
A. B. C. D.
4.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是( )
A. B. C. D.
5.设，则( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，点是边的中点，，则用向量，表示为( )
A. B.
C. D.
7.若函数的部分图象如图所示，则的值是( )
A. B. C. D.
8.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是那么后物体的温单位：
可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有的物
体，放在的空气中冷却，以后物体的温度是，则的值约为( )
A. B. C. D.
9.设是公比为的无穷等比数列，为其前项和，，则“”是“存在最小值”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.已知函数的定义域为，存在常数，使得对任意，都有，当时，若在区间上单调递减，则的最小值为( )
A. B. C. D.
11.函数的定义域是 ．
12.数列是公差为的等差数列，记的前项和为，且成等比数列，则 ； ．
13.已知菱形的边长为，，，则 ．
14.设函数
给出一个的值，使得的图像向右平移后得到的函数的图像关于原点对称， ；
若在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是 ．
15.已知函数给出下列四个结论：
当时，存在最小值；
当时，存在唯一的零点；
的零点个数为，则函数的值域为；
当时，对任意，，．
其中所有正确结论的序号是 ．
16.已知，且．
求的值；
求的值．
17.已知等比数列满足，．
求的通项公式；
从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求数列的前项和．
条件：设；
条件：设．
18.已知函数．
求的最小正周期及单调递增区间；
求在区间上的最值，并求出此时对应的的值；
若在区间上有两个零点，直接写出的取值范围．
19.如图，在四棱锥中，平面，与底面所成角为，底面为直角梯形，．
求与平面所成角的正弦值；
求平面与平面所成角的余弦值；
为中点，线段上是否存在动点不包括端点，使得点到平面距离为．
20.已知二次函数满足，且该函数的图象经过点，在轴上截得的线段长为，设．
求的解析式；
求函数在区间上的最小值；
设函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围．
21.已知为有穷整数数列．给定正整数，若对任意的，在中存在，使得，则称为连续可表数列．
判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；
若为连续可表数列，求证：的最小值为；
若为连续可表数列，且，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.答案不唯一

15.
16.，，，，
．
由知：，
．

17.解：Ⅰ根据题意，设等比数列的公比为，
若，，则，解可得，
又由，则有，
故，
Ⅱ根据题意，
若选择条件：则，此时；
若选择条件：则，
此时
．
18.因为，
所以最小正周期为，又增区间为，
令得：，
所以的单调递增区间为．
因为，所以．
当，即时，取最小值；
当，即时，取最大值．
由题意，与在区间上有两个交点，而在上图象如下：

由图知：，即．

19.因为平面，且平面，所以，，
又因为，所以，
因为与底面所成的角为，所以，故，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立的空间直角坐标系，如图所示，
因为，，可得，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，可得
取，则，可得，
设与平面所成的角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为．
根据题意，平面的一个法向量，
由知，平面的一个法向量为，
则，
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．
因为为中点，所以，
设，，则，
解得，故，
，
设平面的法向量为，则
令，则，即，
，
点到平面距离为，
当时，则，
，当时取等号，
则
综上，点到平面距离的取值范围的最大值为．

20.因为，则的图象关于直线对称且在轴上截得的线段长为，的图象与轴的交点分别为，，所以设．
该函数的图象经过点，解得，所以．
因为，其对称轴方程为，
当，即时，．
当，即时，
当，即时，
综上所述，当时，，
当时，，
当时，．
若对于任意，总存在，使得成立，
等价于
函数，
因为，所以，所以当时，取得最小值
当时，，所以，不成立
当时，，所以，
解得或，所以
当时，，所以，解得，所以
综上所述，的取值范围是．

21.解：由于，，故为连续可表数列而数列无法找到连续的若干个数和为，故不是连续可表数列．
当时，至多可以表示，，，，，
这个数，不符题意当时，取数列，，，满足题意故的最小值为．
先证若，则至多可以表示个数，不符题意．
当时，由于，故数列中存在为负的项，
且仅有一个为负的项，不妨设该项为，因此
数列中一定存在若干项正数的和为由于对称性，我们只需考察，，的情况．
当时，由于，而数列中一定有若干个连续整数和为，
因此或为连续若干个数的和中最大的数．
而由于个数的数列最多能表示个数，且其中有一个为负，因此除了以外，其它连续若干个数的和分别表示，，，，
故有，若为连续若干个数的和中最大的数，
则，矛盾若为连续若干个数中的最大的数，同理可得矛盾．
当时，与同理，不符合题意．
当时，则连续若干个数的和中最大的数为，那么有：
由前文分析可知，
因此
若，则如果，
那么，并且此时，有，则，矛盾．
如果，那么，并且此时，有下面我们考察，，．
注意到且，，，，，则，
并且由于，，由不重复的原则可知
如有，，那么，矛盾如有，，那么，矛盾故该假设不成立．
若，那么，并且有并且，
则此时，，那么此时，矛盾故该假设不成立．
因此综上所述，
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