2024-2025学年北京市朝阳区中国人民大学附属中学朝阳学校高三上学期10月月考数学试题
一、单选题:本题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,,则( )
A. B.
C. D.
2.若,则( )
A. B. C. D.
3.已知,则( )
A. B. C. D.
4.如图,在中,为边上的中线,若为的中点,则( )
A. B. C. D.
5.已知数列是的无穷等比数列,则“为递增数列”是“且,”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.设等差数列的前项和为,且,则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.函数,其中,其最小正周期为,则下列说法中错误的个数是( )
函数图象关于点对称
函数图象向右移个单位后,图象关于轴对称,则的最小值为
若,则函数的最大值为
A. B. C. D.
8.已知正方形的边长为,动点在以为圆心且与相切的圆上,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为,首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为,第次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型,其中为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量,为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量,为改良工艺的次数.假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准,若该企业排放废水符合排放标准,则改良工艺次数最少要参考数据: 次.
A. B. C. D.
10.定义满足方程的解叫做函数的“自足点”,则下列函数不存在“自足点”的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题:本题共6小题,每小题5分,共30分。
11.函数的定义域是 .
12.在中,,,则 .
13.已知数列的通项公式为,的通项公式为记数列的前项和为,则 ;的最小值为 .
14.在中,则的面积为 .
15.已知函数
函数的零点个数为 .
若存在实数,使得关于的方程有三个不同的根,则实数的取值范围是 .
16.在数列中,,给出下列四个结论:
若,则一定是递减数列;
若,则一定是递增数列;
若,,则对任意,都存在,使得;
若,,且对任意,都有,则的最大值是.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在中,已知.
求角的大小;
若,再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知,使得存在且唯一确定,求的面积.
条件:;
条件:;
条件:的周长是.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
18.本小题分
已知函数的部分图象如图所示.
求的值;
从下列三个条件中选择一个作为已知,使函数存在,并求函数在上的最大值和最小值.
条件:函数是奇函数;
条件:将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象;
条件:.
注:如果选择的条件不符合要求,第问得分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.
19.本小题分
已知函数.
求曲线在处的切线方程;
求函数在区间上的极值点个数.
20.本小题分
已知函数
求曲线在点处的切线方程;
若恒成立,求的值;
若有两个不同的零点,且,求的取值范围.
21.本小题分
有穷数列中,令,当时规定.
已知数列,写出所有的有序数对,且,使得;
已知整数列,为偶数若满足:当为奇数时,;当为偶数时,求的最小值;
已知数列满足,定义集合若且为非空集合,求证:.
参考答案
1.
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8.
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10.
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13.
14.
15.
16.
17.因为,即,
可得,
且,所以.
因为,,由正弦定理可得,
可得.
若选条件:因为,,即,
可得,可知满足条件的角有两个,不唯一,不合题意;
若选条件:因为,
由正弦定理可得,
且,则,可得,
则,,
因为两角和两边均已确定,根据三角形全等可知三角形存在且唯一,
又因为,
所以的面积;
若选条件:因为的周长是,
则,即,
由余弦定理可得,即,
整理可得,且,
可知方程有个不相等的实根,
且,可知方程有个不相等的正实根,
即边不唯一,不合题意.
综上,只有选条件符合题意.
18.解:设的最小正周期为,
由题意可得:,即,
且,所以.
由可知:,
若选条件:函数是奇函数,
且,则,
可得,解得,则,
又因为,则,
可知:当,即时,取到最小值;
当,即时,取到最大值;
若选条件:将函数的图象向右平移个单位长度后,
得到,
且,则,
可得,解得,则,
又因为,则,
可知:当,即时,取到最小值;
当,即时,取到最大值;
若选条件:因为,即,
且,则,
可知,即,不合题意,舍去.
19.解:因为
所以,
可得,
可知切点坐标为,切线斜率,
所以曲线在处的切线方程为,即.
令,则,令,
因为的定义域为,且,
可知为偶函数,
因为,
若,则,
取,构建,则,
当时,;当时,;
可知在内单调递减,在内单调递增,
则,
故在内存在唯一零点,
当时,,即;当时,,即;
可知在内单调递减,在内单调递增,
对于,结合偶函数对称性可知:
在内单调递减,在内单调递增,
又因为在定义域内单调递增,
由复合函数单调性可知:
在内单调递减,在内单调递增,
所以在区间上有个极值点,极值点个数为.
20.由,得,
因为,
所以曲线在点处的切线方程为;
,
当时,,不符合题意.
当时,令,解得,
当时,,在区间上单调递减,
当时,,在区间上单调递增,
所以当时,取得最小值;
若恒成立,则,
设,则,
当时,在区间上单调递增,
当时,在区间上单调递减,
所以,即的解为.
所以;
当时,,在区间上单调递增,
所以至多有一个零点,不符合题意;
当时,因为,不妨设,
若,则,不符合题意;
若,则,
由可知,只需,即,解得,
即的取值范围为.
21.为时,,
为时,,
为时,,
为时,,
故,且使得的有序数对有、、、;
由题意可得,,
又为整数,故,,
则,
同理可得,
即有,
同理可得,当时,有,
即当时,有,
当时,,
故
;
对于数列,,不妨设,
首先考虑的情况,
由于,,故,同理,,,
故.
再考虑中有连续一段是连续的正整数的情况,
此时,
因为,,
故这说明此连续的项的和为负.
同理,当含有多段的连续正整数的情况时,每段的和为负,
再由中结论,可得.
若在中,由于,
此时去掉前项,则可转化的情况,所以有.
若,则,
所以此时有,
综上,结论成立.
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