2024-2025学年北京市海淀区中关村中学高三上学期10月月考数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年北京市海淀区中关村中学高三上学期10月月考数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 72.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-20 07:44:32 | ||
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文档简介
2024-2025学年北京市海淀区中关村中学高三上学期10月月考
数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，( )
A. B. C. D.
2.若，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
3.已知中，角，，所对的边分别为，，，若，则是( )
A. 钝角三角形 B. 等边三角形
C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形，但不是等腰三角形
4.已知，则下列不等式正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，在中，，，是的三等分点，且，则错误的是( )
A. B.
C. D.
6.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围( )
A. B. C. D.
7.已知无穷数列满足为常数，为的前项和，则“”是“和都有最小项”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知，两点是函数与轴的两个交点，且满足，现将函数的图像向左平移个单位，得到的新函数图像关于轴对称，则的可能取值为( )
A. B. C. D.
9.若函数在其定义域上只有一个零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
10.设函数，下列判断正确的是( )
A. 函数的一个周期为；
B. 函数的值域是；
C. 函数的图象上存在点，使得其到点的距离为；
D. 当时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点．
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域为 ．
12.若为虚数单位，复数满足，则的虚部为 ．
13.已知数列满足，且，则 ， ．
14.已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一动点，则双曲线的渐近线为 ，最小值为 ．
15.已知函数给出下列四个结论：
若有最小值，则的取值范围是；
当时，若无实根，则的取值范围是；
当时，不等式的解集为；
当时，若存在，满足，则．
其中，所有正确结论的序号为 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知等差数列的公差为，前项和为，满足，，且，，成等比数列．
求数列的通项公式；
记，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，的内角、、的对边分别为、、，且．
求角的大小；
若，．
求的值；
求的角平分线的长．
18.本小题分
某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段、、及曲线段围成经测量，，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是米现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在曲线段上，点、分别在线段、上，且该游乐场最短边长不低于米设米，游乐场的面积为平方米．
试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程；
求面积关于的函数解析式；
试确定点的位置，使得游乐场的面积最大．
19.本小题分
已知函数从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定．
求的解析式；
设，求函数在上的单调递增区间．
条件：；
条件：为偶函数；
条件：的最大值为；
条件：图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
20.本小题分
已知函数．
若，求在点处的切线方程；
若在上恰有一个极小值点，求实数的取值范围；
若对于任意恒成立，求实数的取值范围．
21.本小题分
已知，，，记，用表示有限集合的元素个数．
若，，，求；
若，，则对于任意的，是否都存在，使得？说明理由；
若，对于任意的，都存在，使得，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：Ⅰ由题意，可知，，
，，成等比数列，
，即，
化简整理，得，
解得舍去，或，
，．
Ⅱ由Ⅰ，得，
则
．
17.解：
，
所以，，可得，
又因为，故．
解：因为，解得，
由余弦定理可得，则，
由正弦定理可得，所以，；
因为，即，
因此，．
18.以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，
如图所示，则，，，
设曲线所在的抛物线方程为，，点，在抛物线上，
则，解得，，
所以曲线段所在的抛物线方程为．
因为点在曲线段上，，，所以，
，．
，，
令，解得，
当时，，当时，，
所以时，函数单调递增，时，函数单调递减，
因此，当时，是极大值也是最大值，
即当点在曲线段上且到的距离为米时，游乐场的面积最大．
19.解：因为，所以，
显然当时为奇函数，故不能选，
若选择，即最大值为，所以，解得，
所以，又，
所以，即，，
解得，，故不能唯一确定，故舍去；
若选择，即图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，解得，
所以，又，所以，解得，所以；
若选择，即图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以，解得，所以，
又的最大值为，所以，解得，所以；
由可得
令，，解得，，
所以函数的单调递增区间为，，
又，所以在上的单调递增区间有和；
20.解：Ⅰ若时，，则，
，，
在点处的切线方程为，即．
Ⅱ函数，则，
令得，，
若，则，在上恒成立，
此时在上单调递增，无极值，不符合题意，
若，则，与的情况如下：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
若在上恰有一个极小值点，则需满足，
，
即实数的取值范围为．
Ⅲ，可化为，
又，，
即对于任意恒成立，
令，则，
又，，
在上单调递减，，
，
即实数的取值范围为．
21.若，则，其中，否则，
又，，，则相差，
所以，或，或；
不一定存在，
当时，，则相差不可能，，，，，，
这与矛盾，故不都存在．
因为，故集合中的元素的差的绝对值至多有种，
当时，结论都成立；
当时，不存在，，使得中任意两个元素差不同，所以当时，结论成立；
当时，若，则不存在，所以的最小值为．
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数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，( )
A. B. C. D.
2.若，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
3.已知中，角，，所对的边分别为，，，若，则是( )
A. 钝角三角形 B. 等边三角形
C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形，但不是等腰三角形
4.已知，则下列不等式正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，在中，，，是的三等分点，且，则错误的是( )
A. B.
C. D.
6.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围( )
A. B. C. D.
7.已知无穷数列满足为常数，为的前项和，则“”是“和都有最小项”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知，两点是函数与轴的两个交点，且满足，现将函数的图像向左平移个单位，得到的新函数图像关于轴对称，则的可能取值为( )
A. B. C. D.
9.若函数在其定义域上只有一个零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
10.设函数，下列判断正确的是( )
A. 函数的一个周期为；
B. 函数的值域是；
C. 函数的图象上存在点，使得其到点的距离为；
D. 当时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点．
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域为 ．
12.若为虚数单位，复数满足，则的虚部为 ．
13.已知数列满足，且，则 ， ．
14.已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一动点，则双曲线的渐近线为 ，最小值为 ．
15.已知函数给出下列四个结论：
若有最小值，则的取值范围是；
当时，若无实根，则的取值范围是；
当时，不等式的解集为；
当时，若存在，满足，则．
其中，所有正确结论的序号为 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知等差数列的公差为，前项和为，满足，，且，，成等比数列．
求数列的通项公式；
记，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，的内角、、的对边分别为、、，且．
求角的大小；
若，．
求的值；
求的角平分线的长．
18.本小题分
某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段、、及曲线段围成经测量，，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是米现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在曲线段上，点、分别在线段、上，且该游乐场最短边长不低于米设米，游乐场的面积为平方米．
试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程；
求面积关于的函数解析式；
试确定点的位置，使得游乐场的面积最大．
19.本小题分
已知函数从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定．
求的解析式；
设，求函数在上的单调递增区间．
条件：；
条件：为偶函数；
条件：的最大值为；
条件：图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
20.本小题分
已知函数．
若，求在点处的切线方程；
若在上恰有一个极小值点，求实数的取值范围；
若对于任意恒成立，求实数的取值范围．
21.本小题分
已知，，，记，用表示有限集合的元素个数．
若，，，求；
若，，则对于任意的，是否都存在，使得？说明理由；
若，对于任意的，都存在，使得，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：Ⅰ由题意，可知，，
，，成等比数列，
，即，
化简整理，得，
解得舍去，或，
，．
Ⅱ由Ⅰ，得，
则
．
17.解：
，
所以，，可得，
又因为，故．
解：因为，解得，
由余弦定理可得，则，
由正弦定理可得，所以，；
因为，即，
因此，．
18.以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，
如图所示，则，，，
设曲线所在的抛物线方程为，，点，在抛物线上，
则，解得，，
所以曲线段所在的抛物线方程为．
因为点在曲线段上，，，所以，
，．
，，
令，解得，
当时，，当时，，
所以时，函数单调递增，时，函数单调递减，
因此，当时，是极大值也是最大值，
即当点在曲线段上且到的距离为米时，游乐场的面积最大．
19.解：因为，所以，
显然当时为奇函数，故不能选，
若选择，即最大值为，所以，解得，
所以，又，
所以，即，，
解得，，故不能唯一确定，故舍去；
若选择，即图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，解得，
所以，又，所以，解得，所以；
若选择，即图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以，解得，所以，
又的最大值为，所以，解得，所以；
由可得
令，，解得，，
所以函数的单调递增区间为，，
又，所以在上的单调递增区间有和；
20.解：Ⅰ若时，，则，
，，
在点处的切线方程为，即．
Ⅱ函数，则，
令得，，
若，则，在上恒成立，
此时在上单调递增，无极值，不符合题意，
若，则，与的情况如下：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
若在上恰有一个极小值点，则需满足，
，
即实数的取值范围为．
Ⅲ，可化为，
又，，
即对于任意恒成立，
令，则，
又，，
在上单调递减，，
，
即实数的取值范围为．
21.若，则，其中，否则，
又，，，则相差，
所以，或，或；
不一定存在，
当时，，则相差不可能，，，，，，
这与矛盾，故不都存在．
因为，故集合中的元素的差的绝对值至多有种，
当时，结论都成立；
当时，不存在，，使得中任意两个元素差不同，所以当时，结论成立；
当时，若，则不存在，所以的最小值为．
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