安徽省合肥市第一中学2025届高三上学期第二次素质拓展数学试题（含答案）

安徽省合肥市第一中学2025届高三上学期第二次素质拓展数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.函数是定义在上的偶函数，且，若，，则( )
A. B. C. D.
4.已知随机变量服从二项分布，且，，则( )
A. B. C. D.
5.若函数在区间上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为单位：天铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为，开始记录时，这两种物质的质量相等，天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则，满足的关系式为( )
A. B.
C. D.
7.已知函数，若关于的方程至少有两个不同的实数根，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.已知定义在上的函数满足，且，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设为定义在上的奇函数，当时，为常数，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 在上是单调减函数 D. 函数仅有一个零点
10.已知函数，，则实数的值可能为( )
A. B. C. D.
11.已知函数的定义域为，的图象关于对称，且为奇函数，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列的前项和为，若，则________．
13.若直线是曲线的切线，则________．
14.已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的值为________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为，且，．
求的通项公式
若，，求．
16.本小题分
在中，．
求；
若为边的中点，且，求的值．
17.本小题分
已知函数与，其中是偶函数．
Ⅰ求实数的值；
Ⅱ若函数只有一个零点，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
当时，若在上恒成立，求实数的取值范围；
设，为的两个不同零点，证明：．
19.本小题分
给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，，已知在处的阶帕德近似为．
注：，，，，
求，，的值；
比较与的大小，并说明理由；
求不等式的解集，其中．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，
所以当时，，
两式相减得：，即，
所以，且符合，
所以的通项公式为；
由可知，
所以，
所以
．
16.解：因为 ，
由正弦定理可得 ，
即 ，即 ，
又因为 ，
所以 ，
解得 ，又因为 ，
所以 ；
因为 为 边的中点， ，
所以 ，
设 ，
在 中，由正弦定理可得 ，
即 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，

在 中， ，
在 中， ，
由余弦定理可得： ，
所以 ，即 ．

17.解：是偶函数，
，
，
，
，
即对一切恒成立，
；
只有一个零点，
方程有且只有一个实根，
即方程有且只有一个实根，
亦即方程有且只有一个实根，
令，则方程有且只有一个正根，
当时，，不合题意；
当时，因为不是方程的根，所以方程的两根异号或有两相等正根，
由可得，解得或，
若，则不合题意，舍去；
若，则满足条件；
若方程有两根异号，则
，
综上所述，实数的取值范围是．
18.解：当时，，
因为在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，即在上恒成立，则，
令，解得；
令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
故，
所以实数的取值范围是．
证明：要证明，
即证，
只需证和．
由知，当，时，，即，
所以，
要证，即证，
因为，为的两个不同零点，不妨设，
所以，，
则，
两边同时乘以，
可得，
即，
令，则，
即证，即证，
即证，
令函数，，
则，
所以在上单调递增，
所以，
所以故．

19.解：因为，，
所以，，，，
因为，所以，
因为，所以，则，
因为，所以，，
所以，，．
由知，
令，则，，
令，，
，
所以在上单调递增，在上单调递增，
，，即，所以，
，，，所以，
综上，．
若要使成立，则，即或，
当时，即，，
由知上式成立，
所以使成立的的取值范围为，
再考虑，
该不等式等价于，
不妨令，函数定义域为，
可得，当时，，单调递增
当时，，单调递减，
所以，即当时，，
所以当时，，
当时，由可得成立
当时，由可得不成立，
所以要使成立的的取值范围为，
综上可得，不等式的解集为
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