2024-2025学年北京市通州区第二中学（通州校区）高三上学期第一次月考数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市通州区第二中学（通州校区）高三上学期第一次月考数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则
A. B. C. D.
2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )
A. B. C. D.
3.已知复数，则的虚部是( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则 ．
A. B. C. D.
5.在等腰梯形中，，为的中点，则( )
A. B. C. D.
6.中，“”是“”的 条件
A. 充分而不必要 B. 必要而不充分 C. 充分且必要 D. 既不充分也不必要
7.函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
8.已知函数甲同学将的图象向上平移个单位长度，得到图象；乙同学将的图象上所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变，得到图象若与恰好重合，则下列给出的中符合题意的是( )
A. B. C. D.
9.已知函数，当时，取得最小值，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
10.“开车不喝酒，喝酒不开车”一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时的速度减少，为了保障交通安全，某地根据道路交通安全法规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过小时，才能开车精确到小时参考数据：，
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域是 ．
12.记为等差数列的前项和已知，，则 ．
13.已知向量，若存在实数，使得与的方向相同，则的一个取值为 ．
14.在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点， ， ．
15.已知数列满足，，，则集合中元素的个数为 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知函数．
求的值；
求的最小正周期；
求在区间上的最大值和最小值．
17.在中，角所对的边分别为已知．
求角的大小；
求的值；
求的值．
18.设函数，直线是曲线在点处的切线．
当时，求的单调区间．
求证：不经过点．
19.已知函数的最小正周期为．
若，，求的值；
从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知，确定的解析式，并求函数的单调递增区间．
条件：的最大值为；
条件：的图象关于点中心对称；
条件：的图象经过点注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
20.在中，．
求；
若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求三角形的面积．
条件：；
条件：；
条件：．
21.已知函数，其中．
当时，求曲线在点处的切线方程
当时，判断的零点个数，并加以证明
当时，证明：存在实数，使恒成立．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.答案不唯一
14.
15.
16.．
由题设．
所以的最小正周期为．
因为，所以，
当，即时，取得最大值，
所以在区间上的最大值为；
当，即时，取得最小值，
所以在区间上的最小值为．

17.解：在中，由余弦定理及，有
，又因为，所以．
在中，由正弦定理及．
可得．
由及，可得，
，
，
所以．

18.当时，，
显然的定义域为，
，
显然，当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递増；
所以，单调递増区间为，单调递减区间为．
由题可知，，
所以直线的斜率为，
假设直线过原点，则有，
因为，所以有，
令，得，
因为，所以，
所以在单调递增，
所以，故无解，
故假设直线过原点错误，所以直线不过原点．

19.因为，，则，且，则；
因为函数的最小正周期为，则，
若选，则，且，
又，则，则，所以，
所以，
若选择，则，且，则，
又，则，则，则，
所以
若选择，由可知，，
由可知，，则，
所以，
令，得，
所以函数的单调递增区间是

20.因为，
则由正弦定理可得，，
又因为，所以，
又因为为的内角，
所以或；
若选择：因为，且，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以；
若选择：因为，
所以，则，则．
所以，则为等腰直角三角形，
所以；
若选择：因为，
所以，
由余弦定理可得，，
当时，，即，解得
当时，，即，解得；
此时不唯一，不合题意．

21.解：由题知，
，
，
，
故在点处的切线方程为，
即
由题，，
，
，
，
故在上单调递增，
，
故有个零点
由题，，
，
令
，
，
即在上单调递增，
，
且
，
故，使得，
即
在上单调递增，
即，单调递减，
即，单调递增，
故，
若恒成立，
只需，
即即可，
故存在实数，使恒成立．

第1页，共1页