2024-2025学年北京市朝阳区北京工业大学附属中学高三上学期9月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市朝阳区北京工业大学附属中学高三上学期9月月考数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，在区间上单调递减的是( )
A. B. C. D.
4.“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知球的半径为，球心到平面的距离为，则球被平面截得的截面面积为( )
A. B. C. D.
6.在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终边过点，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知为定义在上的函数，，且为奇函数，则( )
A. B. C. D.
8.木楔在传统木工中运用广泛如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形是边长为的正方形，且均为等边三角形，，，则该木楔的体积为( )
A. B. C. D.
9.已知是边长为的等边三角形，点在线段上，，点在线段上，且与的面积相等，则的值为( )
A. B. C. D.
10.现实生活中，空旷田野间两根电线杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有相似的曲线形态，这类曲线在数学上常被称为悬链线在合适的坐标系中，这类曲线可用函数来表示下列结论正确的是( )
A. 若，则函数为奇函数 B. 若，则函数有最小值
C. 若，则函数为增函数 D. 若，则函数存在零点
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域是 ．
12.已知向量，，且，则 ．
13.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则 ；若为偶函数，则的最小值是 ．
14.已知函数其中若，则函数的值域是 ；若函数有且仅有个零点，则的取值范围是 ．
15.已知是各项均为正数的无穷数列，其前项和为，且给出下列四个结论：
；
；
对任意的，都有；
存在常数，使得对任意的，都有，
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知函数．
求的最小正周期及值域；
求的单调递增区间．
17.已知等差数列和等比数列满足，，．
Ⅰ求的通项公式；
Ⅱ求和：．
18.在中，，再从条件条件条件这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，并求
的值；
的面积．
条件：；条件：；条件：．
注：如果选择的条件不符合要求，得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
19.已知函数．
Ⅰ求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ求函数在区间上的最大值和最小值．
20.已知，，是自然对数的底数．
当时，求函数的极值；
若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；
当时，若满足，求证：．
21.给定正整数，设数列是的一个排列，对，表示以为首项的递增子列的最大长度，表示以为首项的递减子列的最大长度．
若，，，，，求和；
求证：，；
求的最小值．
参考答案
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16.，
故的最小正周期，的值域为．
根据中所求，，
令，解得．
故的单调增区间为：．

17.Ⅰ设等差数列的公差为．
因为，所以．
解得．
所以．
Ⅱ设等比数列的公比为．
因为，所以．
解得．
所以．
从而．

18.若选条件，，
，满足条件的有两个，不合题意，不能选择条件；
若选条件，，
，满足条件的有且仅有一个，
由余弦定理得：，
解得：或舍，；
若选条件，，，；
由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
解得：或舍，则满足条件的有且仅有一个，．
由知：，．

19. 解：因为，
所以，．
又因为，
所以曲线在点处的切线方程为．
设，
则．
当时，，
所以在区间上单调递减，
所以对任意，有，
即
所以函数在区间上单调递减．
因此在区间上的最大值为，
最小值为．

20.解：当时，，定义域为，
则，
令，得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以在处取到极小值，无极大值；
方程，
显然当时，方程不成立，则，，
若方程有两个不等实根，即与有个交点，
则，
当或时，，在区间和上单调递减，
并且时，，当时，，
当时，，单调递增，时，当时，取得最小值，，
作出函数的图象，如下图所示：
与有个交点，
则，
即的取值范围为；
证明：， ，
令，可得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
由题意，则，，
要证，只需证，
而，且函数在上单调递减，
故只需证，
又，所以只需证，
即证，
令，
即，，
由均值不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，
所以函数在上单调递增，
由，可得，即，
所以，
又函数在上单调递减，
所以，
即得证．
21.以为首项的最长递增子列是，以为首项的最长递减子列是和．
所以，．
对，由于是的一个排列，故．
若，则每个以为首项的递增子列都可以在前面加一个，
得到一个以为首项的更长的递增子列，所以；
而每个以为首项的递减子列都不包含，且，
故可将替换为，得到一个长度相同的递减子列，所以．
这意味着；
若，同理有，，故．
总之有，从而和不能同时为零，
故．
根据小问的证明过程知和不能同时为零，故．
情况一：当为偶数时，设，则一方面有
；
另一方面，考虑这样一个数列：．
则对，有．
故此时．
结合以上两方面，知的最小值是．
情况二：当为奇数时，设，则一方面有
；
另一方面，考虑这样一个数列：．
则对，有．
故此时．
结合以上两方面，知的最小值是．
综上，当为偶数时，的最小值是；当为奇数时，的最小值是．

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