2024-2025学年北京市朝阳区清华大学附属中学朝阳分校高三上学期10月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市朝阳区清华大学附属中学朝阳分校高三上学期10月月考数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，则( )
A. B.
C. D.
2.若等差数列和等比数列满足，，，则的公比为( )
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称．若，则( )
A. B. C. D.
4.若点为圆的弦的中点，则直线的方程是( )
A. B. C. D.
5.已知是边长为的正边上的动点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.若，则；；上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
7.若命题“”是真命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.“”是“函数具有奇偶性”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.已知函数，则( )
A. 在上单调递增
B. 对恒成立
C. 不存在正实数，使得函数为奇函数
D. 方程只有一个解
10.如图为某无人机飞行时，从某时刻开始分钟内的速度单位：米分钟与时间单位：分钟的关系．若定义“速度差函数”为无人机在时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图像为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域是 ．
12.直线截圆的弦长 ．
13.如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点，平面与平面__ 填“垂直”或“不垂直”；的面积的最大值为 ．
14.设函数
若，则的最小值为 ．
若有最小值，则实数的取值范围是 ．
15.设数列的前项和为，，给出下列四个结论：
是递增数列； 都不是等差数列；
当时，是中的最小项； 当时，．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，角所对的边分别为已知．
求的大小；
如果，求的面积．
17.本小题分
已知函数，是函数的对称轴，且在区间上单调．
从条件、条件、条件中选一个作为已知，使得的解析式存在，并求出其解析式；
条件：函数的图象经过点；
条件：是的对称中心；
条件：是的对称中心．
根据中确定的，求函数的值域．
18.本小题分
如图，矩形和梯形，平面平面，且，过的平面交平面于．
求证：
当为中点时，求平面与平面的夹角的余弦值；
当为中点时，求点到平面的距离
19.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线的方程；
若函数在处取得极大值，求的取值范围；
若函数存在最小值，直接写出的取值范围．
20.本小题分
已知．
当时，判断函数零点的个数；
求证：；
若在恒成立，求的最小值．
21.本小题分
若数列的子列均为等差数列，则称为阶等差数列．
若，数列的前项与的前项中相同的项构成数列，写出的各项，并求的各项和；
若数列既是阶也是阶等差数列，设的公差分别为．
(ⅰ)判断的大小关系并证明；
(ⅱ)求证：数列是等差数列．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.．
12.
13.垂直
14.
15.
16.。
由余弦定理可得，
又因为，所以．
由，，
所以，
在中，由正弦定理可得，
所以，
，
所以的面积．

17.因为在区间上单调，所以，
因为，且，解得；又因为是函数的对称轴，
所以；
若选条件：因为函数的图象经过点，所以，
因为，所以，所以，即，
当时，，满足题意，故．
若选条件：因为是的对称中心，所以，
所以，此方程无解，故条件无法解出满足题意得函数解析式．
若条件：因为是的对称中心，所以，
所以，解得，所以．
由知，，
所以等价于，，
所以，所以，
即函数的值域为：．

18.因为矩形，所以，
平面，平面，
所以平面．
因为过的平面交平面于，
由线面平行性质定理，得；
由平面平面其交线为，平面
所以平面，
又四边形为矩形，所以以为原点，以、、为轴建立空间直角坐标系．

由，得，，则
设平面法向量，则即，取得因为平面，设平面法向量，
记平面与平面的夹角为，
所以，
即平面与平面的夹角的余弦值为．
因为平面法向量．
又因为，所以点到平面的距离；

19.解：
由题意得：
，
故曲线在点处的切线的方程．
由得要使得在处取得极大值，在时应该，在时应该，
故且，解得
且，解得
当时，，满足题意；
当时，，不满足题意；
综上：的取值范围为．
可以分三种情况讨论：
若，在上单调递减，在单调递增，在上单调递减，无最小值；
若时，当时，趋向时，趋向于；当 ，要使函数取得存在最小值，解得，故 处取得最小值，故的取值范围．
若时，在趋向时，趋向于，又，故无最小值；
综上所述函数存在最小值， 的取值范围．
20.当时，，在上单调递增，，只有一个零点；
设，当时，，所以在上单调递增，所以，所以，．
解法一：当时，由得，恒成立．
当时，设．
在上单增，，，
由零点存在性定理，存在使得，
所以在上递减，，不等式不恒成立，所以的最小值为．
解法二：设．
当时，，在单增，，在恒成立．
当时，设．
递增，，，
由零点存在性定理，存在使得，
所以在上递减，，不等式不恒成立，所以的最小值为．

21.，，，
前项分别为：，，，，，，，，，，，，，，；
前项分别为：，，，，，，，，，，，，，，；
的各项为：，，，；的各项和为：；
由已知得，均为等差数列，数列既是阶也是阶等差数列，故也为等差数列，
：，设公差为，
：，故，
：，故，
：，故，
故．
(ⅱ)数列既是阶也是阶等差数列，
均为等差数列，由(ⅰ)得，设，
对于，有，，
对于，有，对于，有，
对于，有，
，，，整理得，
，，
故；
；
所以，，故，，
所以，数列是等差数列

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