山东省新高考联合质量测评2025届高三上学期10月联考数学试题（含答案）

山东省新高考联合质量测评2025届高三上学期10月联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在等差数列中，已知，，，则( )
A. B. C. D.
3.“”是“函数在上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知平行六面体的各棱长均为，，则( )
A. B. C. D.
5.已知无穷等比数列的公比为，其中，其前项和为，下列条件中，能使得恒成立的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6.已知函数，若正数，满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
7.在直四棱柱中，，，点在侧面内，且，则点轨迹的长度为( )
A. B. C. D.
8.若过点可以作的三条切线，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列结论成立的是( )
A. B. C. D.
10.已知定义在上的函数，满足，且当时，，则( )
A. B. 为偶函数
C. D. 若，则
11.四面体中，，，四面体外接球的表面积记为，则( )
A. 当四面体体积最大时，
B.
C. 当时，
D. 可以是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知则 ．
13.已知圆柱的底面直径为，其轴截面是矩形，为底面弧上任一点，若面积的最大值为，则圆柱的母线长为 ．
14.已知有穷数列共项，数列中任意连续三项，，满足如下条件：
至少有两项相等
，，恒成立
以，，为边长的三角形两两均不全等．
若，，，，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且．
求函数的解析式
是否存在正实数，，使得当时，函数的值域为若存在，求出，的值若不存在，请说明理由．
16.本小题分
已知函数．
求的单调递减区间；
若方程在区间上有三个实根，，，求的值．
17.本小题分
已知数列，，的首项均为，为，的等差中项，且．
若数列为单调递增的等比数列，且，求的通项公式
若数列的前项和，数列的前项和为，是否存在正整数使对恒成立若存在，求出的最大值若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知，，分别为内角，，所对的边，且满足，．
求角；
若，为线段上的两个动点，且满足，，求的取值范围．
19.本小题分
在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个重要的不动点定理，它可以应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石．简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数，，若存在，使得，则称是函数的不动点．已知函数．
若函数只有一个不动点，求实数的取值范围；
当时，数列满足：，．
证明：对任意的，．
参考答案
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15.解：因为是偶函数，所以，解得，所以当时，，
当时，可得，则，
所以函数的解析式为
存在假设存在正实数，，使得当时，函数的值域为，
因为当时，，所以在上单调递增，
所以所以，为方程的两个根，即的两个根，
即的两根，整理得或，
解得或，又，所以，，
所以存在，，使得当时，函数的值域为
16.解：，
由，，解得，
所以的单调递减区间为，．
令，由得，
所以在区间上有三个实根，，，
等价于在区间上有三个实根，，，
由对称性得，，所以，
因为，，所以，
所以．

17.解：由题意，，
数列为单调递增的等比数列，，解得或舍，
所以，
因为，
所以，即，
所以数列为等比数列，，
因为为，的等差中项，
所以即，
所以时，由叠加法，
当时，符合，
故．
由得，时，，，满足上式，所以
所以，即，
所以时，由叠乘法，
当时，符合，
所以，
，
因为，
所以数列单调递增，所以，
因为对任意正整数均有成立，所以，解得，
因为，所以，所以的最大值为．
18.解：由正弦定理和，
得，
化简得，则．
由的面积为，可得，
因为，
所以，，或
又，得，，，
设，其中，
则，，时，
则为直角三角形，，面积为，
时，中，，得，
中，，得，
则面积为，
因为，则，
得，所以
综上，三角形面积范围是
19.解：恰有一个不动点，
等价于方程在内只有一个根，
即在内只有一个根，
等价于在内只有一个根，
令，等价于与有且仅有一个交点，
，，，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，
所以，或，即，或
证明：当时，先证明当时，，
设，在上恒成立，所以在上单调递减，
当时，，即当时，，
则当时，，
则，即，
，，
若，则，因此，若存在正整数，
使得，则，从而，
重复这一过程有限次后可得，与矛盾，
故，，
由于，，所以，，
故，故，
所以对任意，．
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