2025年普通高等学校招生全国统一考试仿真拟卷(T8联盟)数学试题（含答案）

2025年普通高等学校招生全国统一考试仿真拟卷(T8联盟)数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，若，则实数( )
A. B. C. D. 或
2.已知，，若，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D.
3.从集合中任取个数，取出的三个数之和是的倍数的概率为( )
A. B. C. D.
4.已知，，是关于直线的对称点，则( )
A. B. C. D.
5.甲、乙、丙等八个人围成一圈，要求甲、乙、丙三人两两不相邻，则不同的排列方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.已知三棱锥满足，，，且其体积为，若点正投影在内部到，，的距离相等，则三棱锥的表面积为( )
A. B. C. D.
7.在中，为边的中点，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知指数函数，若有且只有两个不等根，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点，直线，其中是，的等差中项，过点作直线的垂线，垂足为，则( )
A. 直线过定点 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最大值为
10.已知，，，满足，且，则下列结论正确的有( )
A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为
11.已知正项数列满足，，则下列说法正确的有( )
A. B. 存在，使得
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数在区间上恰有两个极大值点和一个极小值点，则正实数的取值范围是 ．
13.已知是椭圆的内接三角形，其中原点是的重心，若点的横坐标为，直线的倾斜角为，则椭圆的离心率为 ．
14.定义在闭区间上的函数的最大值与最小值之积为，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某市为创建全国文明城市，自年月日起，在机动车斑马线礼让行人方面，通过公开违规行车的照片及车牌号，效果显著下表是该市人民广场某路口连续年监控设备抓拍到该路口机动车不礼让行人的统计数据：记方案执行时间为执行后第年，不礼让行人车数为单位：百辆．
年
百辆
求不礼让行人车数与执行时间之间的经验回归方程
预测该路口年不礼让行人车数．
参考公式：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，．
16.本小题分
在中，三个内角，，所对的边分别为，，，，．
求证：
若点是边上靠近点的三等分点，求的最小值．
17.本小题分
已知函数在点处的切线与轴重合．
求函数的单调区间与极值
已知正项数列满足，，，记数列的前项和为，求证：．
18.本小题分
现有一双曲线，和分别为的左焦点和右焦点，是双曲线上一动点，的最大值为．
求双曲线的标准方程
过的直线交双曲线左支于，两点点在点上方，判断是否是定值，并给出理由
在的条件下，过点作平行于的直线交双曲线右支于，两点点在点上方，与相交于点，求证：为定值．
19.本小题分
三余弦定理：设为平面内一点，过点的斜线在平面上的正投影为直线为平面内的一条直线，记斜线与直线的夹角即直线与平面所成角为，直线与直线的夹角为，直线与直线的夹角为，则三余弦定理描述了线面角是斜线与平面内任意直线所成角的最小值，又称最小角定理．
证明三余弦定理
如图，已知三棱柱，为正三角形，，求直线与底面所成角的正弦值
已知平行六面体，记为平行六面体体积，为平行六面体表面积，为平行六面体棱长总和，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意得，，，，
由最小二乘法估计可得，
，
不礼让行人车数与执行时间的经验回归方程为
在年年底时，该方案已执行年，
令得到，
年该路口不礼让行人车数的预测值是辆．
16.【解答】
证明：由题意得，即，
即，
因为，
即，由正弦定理可得；
解：设，，由题可知，，，
在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，
两式相加得，解得，所以的最小值是，当且仅当，，时取等号．
17.解：，，
由题意得，，即，
，即在区间上单调递增，在区间上单调递减，
有极大值，无极小值．
证明：由可得，，
等价变形为，即，当且仅当时取等号，
代入题干中可得，
，
即，
当时，，
经检验得，，
，由可令得，
．
18.解：设，则，
由得．
在区间上单调递减，
时，取最大值，
，解得．
．
由题意可得双曲线的标准方程为．
，是定值．
设，，
直线为，
联立得，
，
，，
，
．
证明：由对称性可知，，
，
易知∽，
，
由可知，
代入上式可得，
同理可得，
，为定值．
19.证明：如图，不妨设在平面的射影为，则，过点作交直线于点，连接，
即为斜线与平面所成角，
即为斜线在平面的射影直线与平面内的直线所成角，
即为斜线与平面内的直线所成角，
，，，
又，，，平面，
平面，平面，，
根据几何关系可得，，，
．
解：取中点为，连接，，，，易知，
，．
又，，，平面，平面，
平面，平面平面，
直线在平面上，
直线与底面所成角为，
，，
由三余弦定理得，得，
，即直线与底面所成角的正弦值为．
证明：设，，，，，．
由平行六面体的对称性，不妨令，，直线与底面所成角为，
由三余弦定理可得，，即，，
由题意得，
，
，
，
，
，
当且仅当且时等号成立．
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