黑龙江省齐齐哈尔市2025届高三10月份考试数学试题（含答案）

黑龙江省齐齐哈尔市2025届高三10月份考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知是关于的方程的一个根，，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，不共线，，，其中，，若，，三点共线，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.设函数，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知，，则( )
A. B. C. D.
7.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志而得名，是平面向量中一个非常优美的结论，它的具体内容是：如图，已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则若为的垂心，且，则( )
A. B. C. D.
8.，用表示，中的较小者，记为，设函数，，若，，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A.
B.
C. 在上为增函数
D. 函数在上有且只有个零点
10.下列关于平面向量的说法中正确的是( )
A. 已知点，，是直线上三个不同的点，为直线外一点，且，则
B. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是
C. 已知点为三条边的中线的交点，则
D. 已知，，则在上的投影的坐标为
11.设函数，，且，则( )
A. 函数和的图像关于直线对称
B. 函数和的图像的交点均在直线上
C. 若，方程的根为，方程的根为，则
D. 已知，若恒成立，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则正数的取值范围是 ．
13.设函数，若在上是减函数，则的取值范围为 ．
14.，，若定义，则中的元素有 个
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知公差不为的等差数列的前项和为，，．
求的通项公式
令，记为数列的前项和，若，求的最小值．
16.本小题分
已知函数，
当时，若，求的极值点和极值、最值点和最值
讨论在上的单调性．
17.本小题分
已知函数．
求方程在上的解集；
设函数；
证明：在有且只有一个零点；
在的条件下，记函数的零点为，证明：．
18.本小题分
已知函数．
若，在上为增函数，求的取值范围
已知，的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，且是的一个零点，若在上恰好有个零点，求的最大值
已知函数，在第问的条件下，若对任意，存在，使得成立，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
若，证明：
记数列的前项和为．
(ⅰ)若，证明：．
(ⅱ)已知函数，若，，，证明：．
参考答案
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15.解：由题设，
所以，而，
所以．
由题设，则，
所以，显然在且时严格增，
时，，
时，，
所以成立，正整数的最小值为．
16.解：当，，则．
当时，令，得或．
当时，，
所以在上单调递增
当时，，
所以在上单调递减
当时，，
所以在上单调递增．
所以的极大值点为，极小值点为
极大值为，极小值为．
因为，且当时，恒成立，
所以的最大值点为，
最小值点为最大值为，最小值为．
．
若，则，所以在上单调递增．
若，令，得．
若，即，则当时，，
所以在上单调递增．
若，即，则当时，，
当时，，所以在上单调递增，
在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增
当时，在上单调递增，在上单调递减．
17.
所以．
所以或
当时，，则，又，所以或，
当，则，又．
所以或，所以或，
所以方程在上的解集为．
设．
当，则
此时在区间上单调递增，
又在区间上也单调递增，所以在区间上单调递增，
又
所以在时有唯一零点，
当，所以，
所以在上没有零点，
综上，在有唯一零点．
记函数的零点为，
所以，且，所以，
所以，
令，因为，所以，
又，则，
所以．

18.解：由，
则，
所以，
所以
解得：
因为，所以，解得：，
因为，所以．
所以，
故的取值范围为．
函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，
．
又是的一个零点，
，即，
或，
解得或，
由可得，
，最小正周期，
令，则，
即或，解得或，，
所以由小到大依次取值，第七个正数零点是，
故在上恰好有个零点，则的最大值为．
由知，对任意，存在，使得成立，则，
当时，，
当时，，
由可得，解得
故实数的取值范围为．

19.证明：设，
当时，，
所以在上递增，
故当时，，
所以当时，．
设，
当时，，
所以在上递增，
故当时，，
所以当时，．
故当时，．
因为，当时，，
所以在上递增，
因为当时，，且由，得，
所以，即，
所以．
因为，
所以，
，
所以，
即，
所以．
函数，
因为当时，，
所以当时，，
所以当时，，
因此，
故，即．
因为，
所以当时，，
综上，，所以，
所以，即．
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