广东省五校2025届高三上学期10月联考（二）数学试题（含答案）

广东省五校2025届高三上学期10月联考（二）数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数为奇函数的是( )
A. B. C. D.
3.已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为( )
A. B. C. D.
5.已知，且，则函数的图象一定经过( )
A. 一、二象限 B. 一、三象限 C. 二、四象限 D. 三、四象限
6.设，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若，则的最大值和最小值分别是( )
A. B. C. D.
8.设函数若方程有个不同的实根，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 只有个零点
B. 在 单调递增
C. 曲线在点处切线的斜率为
D. 是偶函数
10.若，满足，则( )
A. B. C. D.
11.若正实数，满足，则下列不等式中可能成立的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则 ．
13.设是定义域为的奇函数，且若，则
14.已知函数的定义域为，其导函数为，若．，则关于的不等式的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
Ⅰ求的最小正周期；
Ⅱ求在区间上的最小值．
16.本小题分
已知函数，．
求曲线在点处的切线方程；
求的最大值和最小值．
17.本小题分
在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有名男志愿者，，，，，和名女志愿者，，，，从中随机抽取人接受甲种心理暗示，另人接受乙种心理暗示．
Ⅰ求接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的频率．
Ⅱ用表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求的分布列与数学期望．
18.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
当时，证明．
19.本小题分
已知函数，，其中为实数．
求的极值
若有个零点，求的取值范围．
参考答案
1.
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8.
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10.
11.
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13.
14.
15.试题解析：Ⅰ
的最小正周期为；
，当时，
取得最小值为：

16.【小问详解】
由题意知，，则，
又，所以切点为，
所以曲线在点处的切线方程为
，即．
【小问详解】
，
令或，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故在上的极大值为，极小值为，
又，
所以在上的最大值为，最小值为．

17.解：Ⅰ记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为，
则；
Ⅱ的可能取值为：，，，，，
，
，
，
，
．
的分布列为


的数学期望．
18.解： 的定义域为，
．
若，则当时，，
故在上单调递增．
若，则当时，；
当时，．
故在上单调递增，在上单调递减．
综上，当，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
证明：由知，当时，在处取得极大值也为最大值，
最大值为，
所以等价于，
即．
设，
则．
当时，；
当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减．
故当时，取得最大值，最大值为．
所以当时，．
从而当时，，
即．

19.解：，
令，解得；令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以有极大值，无极小值；
由，得，
设，则，
设，，
由，解得，由，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，
则，
当时，；当时，；且，
所以存在，，使得、，
即、，
由，解得或；由，解得或；
故F在上递减，上递增，上递减，上递增，
故F的极大值为，极小值为和，
由式两边取对数可得、，
将、代入，
得，
同理可得，
要使得有四个零点，
则必有，解得，
而，
，
由零点存在定理可知：当时，有且仅有个零点，即有个零点，
所以实数的取值范围是．
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