广东省七校2025届高三上学期第二次联考数学试卷（含答案）

广东省七校2025届高三上学期第二次联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 ，，若，且，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
2.函数图像的一条对称轴为，则( )
A. B. C. D.
3.在等差数列中，已知，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知正数满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.在杭州亚运会上，我国选手盛李豪夺得射击第一枚金牌，他射击的方向向量，另一名选手余浩楠射击的方向向量，若，则( )
A. B. C. D.
6.研究数据表明，某校高中生的数学成绩与物理成绩、物理成绩与化学成绩均有正相关关系．现从该校抽取某班位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本，设数学、物理、化学成绩分别为变量，，若，的样本相关系数为，，的样本相关系数为，则、的样本相关系数的最大值为( ) 附：相关系数
A. B. C. D.
7.在直四棱柱中，，，点在侧面内，且，则点轨迹的长度为( )
A. B. C. D.
8.已知，，当时，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.现安排甲乙丙丁戊这名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的是( )
A. 不同安排方案的种数为
B. 若每项工作至少有人参加，则不同安排方案的种数为
C. 若司机工作不安排，其余三项工作至少有人参加，则不同安排方案的种数为
D. 若每项工作至少有人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为
10.如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，是正方形内的动点，则下列结论正确的是( )
A. 若平面，则点的轨迹长度为
B. 若平面，则三棱锥的体积为定值
C. 若，则点的轨迹长度为
D. 若是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是
11.已知抛物线的焦点为，，，为抛物线上的点，，若抛物线在点，处的切线的斜率分别为，且两切线交于点．为抛物线的准线与轴的交点．则以下结论正确的是( )
A. 若，则
B. 直线的倾斜角
C. 若，则直线的方程为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为虚数单位，是实系数一元二次方程的一个虚根，则 ．
13.已知函数，数列满足，，，，则 ．
14.函数在区间上的零点个数为 个．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，的面积为，且
求角；
若为锐角三角形，且，求的取值范围．
16.本小题分
在如图所示的实验装置中，两个正方形框架，的边长都是，且他们所在的平面互相垂直，活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，及
求的长；
为何值时，的长最小，最小值是多少？
当的长最小时，求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
传球是排球运动中最基本最重要的一项技术．传球是由准备姿势迎球击球手型用力个动作部分组成．其中较难掌握的是触球时的手型，因为触球时手型正确与否直接影响手控制球的能力和传球的准确性，对初学者来说掌握了正确手型才能保证正确击球点和较好的运用手指，手腕的弹力．从小张小胡小郭小李小陈这人中随机地抽取三个人去做传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．
记小胡小李小陈这三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列；
若刚好抽到小胡小李小陈三个人相互做传球训练，且第次由小胡将球传出，记次传球后球在小胡手中的概率为．
直接写出的值；
求与的关系式，并求．
18.本小题分
已知函数．
求函数的值域；
若不等式在上恒成立，求的取值范围；
当时，函数的值域为，求正数的取值范围．
19.本小题分
已知双曲线的实轴长为，渐近线方程为．
求双曲线的标准方程；
双曲线的左右顶点分别为，过点作与轴不重合的直线与交于两点，直线与交于点，直线与交于点．
设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求的值；
求的面积的取值范围．
参考答案
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15.解：，则，
，
即，，，又，
，
；
由正弦定理得，
即，且，
所以
，
因为为锐角三角形，
，
所以，
所以，
即
可得
即的取值范围为．

16.解：
如图建立空间直角坐标系，
，，，，
因为，
所以，，
；
，
当时，最小，最小值为；
【小问详解】
由可知，当，为中点时，最短，
则，，取的中点，连接，，
则，
因为，，
所以，，
是平面与平面的夹角或其补角，
因为，，
所以
，
所以平面与平面的夹角的余弦值是．

17.解：
的所有可能取值为，
所以，
所以的分布列为
由题意知，．
记表示事件“经过次传球后，球在小胡手中”，，
所以
即
所以，且，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
即次传球后球在小胡手中的概率是．

18.解：
依题意，，
由，得，则，
当，即时，；当，即时，，
所以函数在时的值域为．
不等式，
当时，；
当时，，则恒成立，
又在上递减，在上的值域为，因此；
当时，，则恒成立，
又在上递减，在上的值域为，因此，
所以实数的取值范围为．
【小问详解】
当时，在上单调递增，
又当时，值域为，
因此，即
则是关于的方程，即的两个不相等的正根，
则，解得，
所以正数的取值范围为．

19.解：
由题意知：，解得，双曲线方程为．
因为直线斜率不为，设直线方程为，易知，
设，联立，得，
则，且，
；
由题可得：．
联立可得：，即，同理．
，
故，
且，
．

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