贵州省贵阳“七校联盟”2025届高三上学期第一次联考数学试卷（含答案）

贵州省贵阳“七校联盟”2025届高三上学期第一次联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，若复数为纯虚数，则实数的值为( )
A. B. C. D.
2.设集合，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若向量都是单位向量，且，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.为了了解某班学生数学成绩，利用分层随机抽样抽取了一个人的样本，统计如下：
学生数 平均分 方差
男生
女生
则可估计全班学生数学的平均分和方差分别为( )
A. B. C. D.
5.已知函数，且满足，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.如图甲，在边长为的正方形中，分别是的中点，将分别沿折起，使得三点重合于点，如图乙，若三棱锥的所有顶点均在球的球面上，则球的体积为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的图像如图所示，是的极值点，则等于( )
A. B. C. D.
8.已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数是偶函数
D. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象
10.已知直线与圆相交于两点，下列说法正确的是( )
A. 直线恒过某一定点
B. 时，最大
C. 的最小值为
D. 当时，对任意，曲线过直线与圆的交点
11.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若函数是奇函数，函数是偶函数，则( )
A. B.
C. 函数是奇函数 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，内角的对边分别为，若，则 ．
13.若的展开式的二项式系数和为，且的系数为，则实数的值为 ．
14.设函数，若，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为，且满足．
求证为等比数列；
求数列的前项和．
16.本小题分
如图甲，中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”某种风筝的骨架模型是是四棱锥，其中交于点，如图乙．
求证：平面；
若，点是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若，且，求的取值范围．
18.本小题分
某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投次，在处投一次三分球，投进得分，未投进不得分，在处连续投次两分球，每投进一次得分，未投进不得分，测试者累计得分高于分即通过测试，并终止投篮若前两次投篮后确定不能通过测试也终止投篮甲同学为了通过测试，刻苦训练，投中分球的概率为，投中分球的概率为，且每次投篮结果互不影响．
若甲同学先投分球，求他投篮次就终止投篮的概率；
为使通过测试的概率最大，甲同学应先投几分球？
为使投篮累计得分期望最大，甲同学应先投几分球？
19.本小题分
已知椭圆过点为的右焦点，轴，且，如图，过点的两条动直线交椭圆于．
求实数的值；
设是的动点，过点作直线的垂线为垂足，求；
记，若直线的斜率为，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 或
13.
14.
15.证明：当时，，
解得．
因为
所以
得：
，
整理得，
所以，
即，
又，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列
由知，
所以，
所以，
所以
．

16.解：
证明：因为，所以，
有，又，所以
所以，所以．
同理，，有
又因为平面平面，
所以平面．
由可知，因为，
所以，所以，
从而由等面积法，可知，
由勾股定理，可知
因为，所以，所以．
又因为，，平面，
所以平面．
以为原点，所在直线分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由可知所以，所以，
因为，
因为点为线段的中点，所以，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，解得，
所以平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

17.解：
由题意得的定义域为，
当时，，所以在区间内单调递减；
当时，令，得，
当时，单调递减；
当时，单调递增．
综上，当时，在区间内单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
当时，由，得，
整理得，即．
令
则，
由知，当时，的最小值为，
即恒成立，
所以当时，单调递增；
当时，单调递减．
故当时，取得最大值，即，
故的取值范围为．

18.解：
记甲同学先投分球，投篮次就终止投篮的事件为，
．
记甲同学先投分球通过测试的概率为，
则；
记甲同学先投分球通过测试的概率为，
则；
因为，故甲同学先投分或先投分是一样的．
记甲同学先投分球投篮累计得分为，先投分球投篮累计得分为，
可能取
，
．
可能取，
，
，
．
故甲同学先投分球投篮累计得分期望最大．

19.解：
由椭圆的方程，
得，故，
因为点在椭圆上，轴，且，
所以的坐标为，
代入椭圆方程得，解得．
由知椭圆的方程为，
设动点，则，所以，
故，
又，
所以．
不妨设的外接圆半径为，由，
则在中，由正弦定理，
所以．
如图，过分别作直线的垂线，垂足分别为，，
过作于点，
由的结论可得，
所以，即，
所以，
又，得，
则在中，，即，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为．

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