2024-2025学年广东省上进联考高三（上）段考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年广东省上进联考高三（上）段考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，则( )
A. B. C. D.
3.已知事件，互斥，且，满足，，则( )
A. B. C. D.
4.向量在向量上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
5.已知底面半径为的圆锥的侧面展开图是圆心角为平角的扇形，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆的离心率为，焦点为，，一个短轴顶点为，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为，则( )
A. B. C. D.
8.已知为双曲线右支上一点，过点分别作的两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别交于点，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为了弘扬奥运会中我国射击队员顽强拼搏的奋斗精神，某校射击兴趣小组组织了校内射击比赛，得到名同学的射击环数如下：，，，，，，，单位：环，则这组样本数据的( )
A. 极差为 B. 平均数是 C. 上四分位数是 D. 方差为
10.已知函数不是常函数，且图象是一条连续不断的曲线，记的导函数为，则( )
A. 存在和实数，使得
B. 不存在和实数，满足
C. 存在和实数，满足
D. 若存在实数满足，则只能是指数函数
11.已知，圆：，点为圆上一动点，以为直径的圆交轴于，两点，设，，，则( )
A. 当点在轴上时， B. 的取值范围是
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.小明去超市从种功能性提神饮料和种电解质饮料中选瓶进行购买，若每种饮料至多买一瓶，则功能性提神饮料和电解质饮料都至少买瓶的买法种数为______用数字作答
13.已知正数，满足，则的最小值为______．
14.若关于的方程在区间上有且仅有一个实数解，则实数 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的三个内角，，所对的边分别是，，，且．
求；
若，求外接圆的半径．
16.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
当时，证明：．
17.本小题分
已知抛物线：的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形．
求的方程；
讨论过点的直线与的交点个数．
18.本小题分
在三棱锥中，底面，，，分别为，的中点，为线段上一点，平面底面．
若，求二面角的余弦值；
求．
19.本小题分
已知数列一共有项，，，，成公差不为的等差数列，对任意的，，，，，成等差数列，且对于不同的，其公差为同一个非零常数．
若，，，，求数列的各项之和；
证明：，，，，成等差数列；
从，，，中任取三个数，，，记，，成等差数列且，，也成等差数列的概率为，证明：．
参考答案
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15.解：由，
可得，
又，，
，
化简得，
，，
又，；
在中，由余弦定理，
得，
解得，
设的外接圆半径为，
则，
外接圆的半径为．
16.解：当时，，所以切点为，
又因为，所以，所以在点的切线的斜率为，
因此曲线在点处的切线方程为，
所以切线方程为．
证明：当时，原函数，导函数，
因此设，
那么其导函数，因此在上单调递增，
又因为，因此当时，，
所以当时，，
所以在上单调递减；
当时，，所以当时，，所以在上单调递增，
所以．
得证．
17.解：已知抛物线：的焦点为，
则，准线方程为，
以焦点和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形，
则等边三角形的高为，
即焦点到准线的距离，
又，
则，
所以的方程为．
若直线的斜率存在，设的方程为，
由方程组，
可得，
Ⅰ当时，解得，
此时方程只有一个实数解，
与只有一个公共点；
Ⅱ当时，方程的根的判别式为，
(ⅰ)由，解得或，
此时方程有两个相等的实数解，
与只有一个公共点；
(ⅱ)由，
即，
解得或，
此时方程有两个不等的实数解，
与有两个公共点；
(ⅲ)由，
即，
解得或，
此时方程没有实数解，
与没有公共点；
若直线的斜率不存在，
则直线的方程为，
易知与没有公共点．
综上，当的方程为或的斜率或时，与的交点个数为；当的斜率或或时，与的交点个数为；当的斜率时，与的交点个数为．
18.解：如图所示，
连接交于点，连接，
由于分别为，的中点，
因此，，，
因此，
所以，
因此，
又因为底面平面，底面平面，平面，
因此面．
以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴，
过点作垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，，
，，
所以平面的一个法向量为，
令平面的一个法向量为，
所以，解得，
令，所以，
令二面角为，由图可知为锐角，
所以，
所以二面角的余弦值为．
根据第一问可知，面，
又因为平面，因此，
由于底面，平面，
所以，又因为，，平面，
所以，又因为，
因此．
19.解：根据题意得，，又由数列的定义知，，
所以可得数列各项如图所示．
所以数列的各项之和为．
如数表所示，因此可转换为证明左上至右下的对角线上的数成等差数列，
根据数列的定义可知，该数表每行均为等差数列且公差相同，令公差为，
每列也为等差数列且公差相同，令公差为，
所以，
所以数列是以为公差，为首项的等差数列．
将数表中的每个数看作一个点，
如果，，三点共线，并且关于中间的一点中心对称，所以显然这三个点对应的数构成等差数列．
因此该数表中，只需要纵列投影成等差数列即可，且横行投影成等差数列，
先对横行进行分析，在个数中取三个数得到不相同的等差数列的方法数，
若为奇数，由上分析，同理可得每横行可以产生个等差数列，
此时，，成等差数列且，，也成等差数列的总取法数为，
则；
若为偶数，则公差为的等差数列的个数为，公差为的个数为，公差为的个数为，共有个等差数列，
此时，，成等差数列且，，也成等差数列的总取法数为，
则．
综上所述：成立．
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