2024-2025学年北京市丰台区怡海中学高三上学期10月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市丰台区怡海中学高三上学期10月月考数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与以原点为圆心，半径为的圆相交于点则，则( )
A. B. C. D.
4.在等差数列中，，则( )
A. B. C. D.
5.下列函数中，在区间上单调递增的是
A. B. C. D.
6.在中，角的对边分别为，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知的展开式中，常数项为，则的值为( )
A. B. ， C. D. ，
8.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为，已知太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A. B. C. D.
9.已知等差数列的公差为，且集合中有且只有个元素，则中的所有元素之积为( )
A. B. C. D.
10.已知是函数的图象上的两个不同的点，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.复数的虚部是 ．
12.已知扇形的面积为，圆心角为，则该扇形的半径为 ，弧长为 ．
13.在中，，则最大角的正弦值为 ．
14.已知函数
当时，的值域为 ；
若关于的方程恰有个正实数解，则的取值范围是 ．
15.已知函数，则下列说法正确的有 ．
函数的图象关于直线对称；是函数的周期
函数在区间上单调递减；当时，
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，．
求；
当的面积为，，求的值．
17.本小题分
已知是等差数列，是等比数列，且，，．
数列和的通项公式；
设，求数列前项和．
18.本小题分
在中，是边上一点，，，，．
求的长；
求的面积．
19.本小题分
设函数．
若，求的值．
已知在区间上单调递增，，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件：；
条件：；
条件：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
20.本小题分
函数的部分图象如图所示．

求函数的解析式；
将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的最大值和最小值；
若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围．
21.本小题分
已知函数．
若，求曲线在点处的切线方程；
若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
参考答案
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14.，
15.
16.因为，由正弦定理得，，
又，所以，得到，
又，所以，
又，所以，得到，
所以．
因为，所以，
又，得到，
代入，得到，
解得，所以，
由余弦定理得，，
所以．

17.设等差数列的公差为，等比数列的公比为因为，所以解得又因为，所以所以．
由知，．
因此
数列前项和为．
数列的前项和为．
所以，数列前项和为．

18.因为，
则，，，
中，，
即，解得：或舍，
所以；
，
因为
所以，，
所以．

19.解：因为
所以，
因为，所以．
因为，
所以，所以的最大值为，最小值为 ．
若选条件：因为的最大值为，最小值为，
所以无解，故条件不能使函数存在；
若选条件：因为在上单调递增，且，
所以，所以，，
所以，
又因为，所以，
所以，
所以，因为，所以．
所以，；
若选条件：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最小值，即．
以下与条件相同．

20.由函数的部分图象可知，
，，，又，
，解得，由可得，
；
将向右平移个单位，得到，
再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，
令，由，可得，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
可得，；
因为关于的方程在上有两个不等实根，
即与的图象在有两个交点．

由图象可知符合题意的的取值范围为．

21.解：当时，，则，，，
此时，曲线在点处的切线方程为，即；
因为，则，
由题意可得，解得，
故，，列表如下：
递增 极大值 递减 极小值 递增
所以，函数的增区间为、，单调递减区间为．
当时，；当时，．
所以，，．
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