2024-2025学年北京市海淀区清华大学附中高三（上）月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京市海淀区清华大学附中高三（上）月考数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.复数的虚部是( )
A. B. C. D.
3.若，，且，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
4.设函数，则是( )
A. 奇函数，且在上是增函数 B. 奇函数，且在上是减函数
C. 偶函数，且在上是增函数 D. 偶函数，且在上是减函数
5.设，是两个不同的平面，是直线且，““是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.将函数的图象向右平移个单位后，图象经过点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.对任意实数，都有且，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.在平行四边形中，，边、的长分别为、，若、分别是边、上的点，且满足，则的最大值是( )
A. B. C. D.
9.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为( )
A. B. C. D.
10.在棱长为的正方体中，，，分别为棱，，的中点，动点在平面内，且则下列说法正确的是( )
A. 存在点，使得直线与直线相交
B. 存在点，使得直线平面
C. 直线与平面所成角的大小为
D. 平面被正方体所截得的截面面积为
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.角的终边经过点，且，则 ______， ______．
12.在中，，，，则 ；的面积为 ．
13.我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”已知枚环权的质量单位：铢从小到大构成项数为的数列，该数列的前项成等差数列，后项成等比数列，且，，，则 ______，数列的所有项的和为______．
14.设函数 为常数，若为奇函数，则 ；若是上的增函数，则的取值范围是 ．
15.已知函数，有下列四个命题：
函数是奇函数；函数在是单调函数；
当时，函数恒成立；当时，函数有一个零点，
其中正确的是______
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数．
Ⅰ求的定义域及最小正周期；
Ⅱ若，且，求的值．
17.本小题分
在中，，．
Ⅰ求；
Ⅱ再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上的高．
条件：；
条件：；
条件：的面积为．
18.本小题分
如图，三棱柱的侧面是平行四边形，，平面平面，且，分别是，的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ当侧面是正方形，且时，
求二面角的大小；
直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
证明：当时，．
20.本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，求函数的极小值；
Ⅱ当时，讨论的单调性；
Ⅲ若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围．
21.本小题分
已知：，，，为有穷整数数列．给定正整数，若对任意的，在中存在，，，，，使得，则称为连续可表数列．
Ⅰ判断：，，是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；
Ⅱ若：，，，为连续可表数列，求证：的最小值为；
Ⅲ若：，，，为连续可表数列，且，求证：．
参考答案
1.
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15.
16.本小题满分分
解：Ⅰ函数．
由题意可知，的定义域为．
函数
的最小正周期为分
Ⅱ解法一：由知，，
则，
解得或
又，且
．
解法二：由知，，则
解得．
又，且．
分
17.解：Ⅰ由正弦定理及，知，
因为，
所以，
因为，所以，
又，所以．
Ⅱ选择条件：因为，且，所以，
所以，
故该不存在．
选择条件：因为，所以，
由，知，
所以，
所以边上的高．
选择条件：的面积，所以，
由余弦定理知，，
所以，
因为，所以边上的高．
18.解：Ⅰ证明：取中点，连，连，
在中，因为，分别是，中点，
所以，且．
在平行四边形中，因为是的中点，
所以，且．
所以，且．
所以四边形是平行四边形．
所以，又平面，平面，
所以平面；
Ⅱ因为侧面是正方形，
所以，又平面平面，
且平面平面，
所以平面，所以，又，
以为原点建立空间直角坐标系，如图所示：
设，则，，，，，．
设平面的一个法向量为．
由，取，
又平面，所以是平面的一个法向量，
所以．
由图可知，二面角为钝角，
所以二面角的大小为；
(ⅱ)由(ⅰ)知，平面的一个法向量为，
所以直线与平面所成角的正弦值为：
，．
19.解：因为，定义域为，，
当时，恒成立，所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
证明：由得，，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，
令，则；令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕．
20.解：Ⅰ 当时：，
令解得，
又因为当，，函数为减函数；
当，，函数为增函数．
所以，的极小值为；
Ⅱ．
当时，由，得或．
(ⅰ)若，则，
故在上单调递增；
(ⅱ)若，则，
故当时，或；
当时，．
所以在，上单调递增，在上单调递减．
(ⅲ)若，则故当时，或；
当时，．
所以在，上单调递增，在上单调递减；
Ⅲ当时，，令，得．
因为当时，，
当时，，
所以此时在区间上有且只有一个零点．
当时：
(ⅰ)当时，由Ⅱ可知在上单调递增，
且，，
此时在区间上有且只有一个零点．
(ⅱ)当时，由Ⅱ的单调性结合，又，
只需讨论的符号：
当时，，在区间上有且只有一个零点；
当时，，函数在区间上无零点．
(ⅲ)当时，由Ⅱ的单调性结合，，
，
此时在区间上有且只有一个零点．
综上所述，．
21.解：Ⅰ若，则对于任意的，
，，，，，
所以是连续可表数列；
由于不存在任意连续若干项之和相加为，
所以不是连续可表数列；
Ⅱ假设的值为，则，，最多能表示，，，，，，共个数字，
与是连续可表数列矛盾，故；
现构造：，，，可以表达出，，，，，，，这个数字，即存在满足题意．
故的最小值为．
Ⅲ先证明．
从个正整数中，取一个数字只能表示自身，最多可表示个数字，
取连续两个数字最多能表示个数字，取连续三个数字最多能表示个数字，
取连续四个数字最多能表示个数字，取连续五个数字最多能表示个数字，
所以对任意给定的个整数，最多可以表示个正整数，不能表示个正整数，即．
若，最多可以表示个正整数，
由于为连续可表数列，且，
所以其中必有一项为负数．
既然个正整数都不能连续可表的正整数，
所以至少要有个正整数连续可表的正整数，
所以至少个正整数和一个负数才能满足题意，
故．
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