2024-2025学年浙江省浙南名校联盟高三（上）第一次联考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年浙江省浙南名校联盟高三（上）第一次联考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知集合，则( )
A. B. ，
C. D.
3.“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自论语子路意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守根据上述材料，“身正”是“令行”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知为定义在上的奇函数，当时，若在上单调递减，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.将棵高度不同的景观树种植在道路两侧，要求每一侧种植棵，且每一侧中间的景观树都要比两边的高，则不同的种植方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，，使得为正三角形，且，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知为函数的零点，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知非零向量，则下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 向量与向量垂直
10.如图，在正三棱柱中，，，，分别为棱，，，的中点，，则以下结论正确的是( )
A. 平面
B.
C. 点到平面的距离为
D. 三棱锥的外接球表面积为
11.已知抛物线：的焦点为，，，为抛物线上的点，，若抛物线在点，处的切线的斜率分别为，，且两切线交于点为抛物线的准线与轴的交点则以下结论正确的是( )
A. 若，则
B. 直线的倾斜角
C. 若，则直线的方程为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知 ______．
13.已知某中学的个年级各有学生，，人，现采用分层抽样的方法从个年级的学生中抽取人，对他们的体重进行了统计若个年级被抽到的学生体重的平均值分别为，，，方差分别为，，将这名学生体重作为样本，则样本的方差为______．
14.“四进制”是一种以为基数的计数系统，使用数字，，，来表示数值四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以的相应次方从开始，然后将所有乘积相加例如：四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；现将所有由，，组成的位如：，四进制数转化为十进制数，在这些十进制数中任取一个，则这个数能被整除的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，三棱台中，是正三角形，平面，，，分别为棱，的中点．
证明：平面；
求直线与平面所成的角的正弦值．
16.本小题分
已知，函数在点处的切线过点．
求实数的值；
证明：在上单调递增；
若对，恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，四边形中，，，，．
求；
为边上一点，且的面积为，求的外接圆半径．
18.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且直线与的斜率之积为．
求的方程；
直线：与交于，两点，与轴交于点，与轴交于点．
(ⅰ)若，恰为弦的两个三等分点，求直线的方程；
(ⅱ)若点与点重合，线段的垂直平分线与轴交于点，求的值．
19.本小题分
密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学研究密码变化的客观规律，应用于编制密码以保守通信秘密的，称为编码学；应用于破译密码以获取通信情报的，称为破译学，总称密码学世纪年代，一些学者提出了公开密钥体制，即运用单向函数的数学原理，以实现加、脱密密钥的分离加密密钥是公开的，脱密密钥是保密的这种新的密码体制，引起了密码学界的广泛注意和探讨某数学课外小组研究了一种编制密码的方法：取任意的正整数，将小于等于且与互质的正整数从小到大排列，即为密码记符合上述条件的正整数的个数为．
求数列的前项和；
求的表达式和的值；
记，数列的前项和，证明．
参考答案
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15.证：连接，如图所示：
因为，分别为，的中点，所以，
因为是正三角形，所以，
又平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
易得，所以，所以，
又因为，所以，因为，，平面，
所以平面；
取中点，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
则，
由知平面的一个法向量为，又，
所以，
因为直线与平面所成的角为直线与所成角的余角，
所以直线与平面所成的角的正弦值为．
16.解：的定义域为，
故，又，
在点处的切线方程为，
将点代入得，解得．
证明：由知，
则，
令，
则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
时，函数即取得极小值即最小值，
，
在上单调递增．
对，恒成立，即对，恒成立，
当时，上式显然恒成立；
当时，上式转化为恒成立，
设，则，
在上单调递增；
，
故，因此实数的取值范围为．
17.解：因为，所以，
在中，由余弦定理得：
，
在中，由余弦定理得：
，
两式作差得：，解得，
因为，所以；
因为，，，，
由知，
可得，且，
则，所以，
在中，由余弦定理，
可得，所以，
在中，由余弦定理，
可得，
在中，由余弦定理，
可得，
可得，故，
所以，
则，
所以在中，由余弦定理，
可得，
解得，
设的外接圆半径为，
由正弦定理得，
所以的外接圆半径为．
18.解：设的焦距为，则，，
故，解得，
因为点在椭圆上，所以，
所以，解得，，
所以的方程为．
由题，，设，，
因为，恰为弦的两个三等分点，所以，
则，即，解得，所以，
又，即，解得，所以，
将点，的坐标代入的方程得，解得，
因为，，所以，
所以直线的方程为．
(ⅱ)由题直线过点，所以设，
联立，消去得，
，
因为，两点是直线与椭圆的两个交点，则，
所以
，
又，
所以中点为，
所以的垂直平分线方程为，
令得，故，
所以，
所以．

19.解：由题意可得；
小于等于且与互质的正整数有，所以；
小于等于且与互质的正整数有，，所以；
小于等于且与互质的正整数有，，所以；
小于等于且与互质的正整数有，，，，所以．
所以数列的前项和为．
若为质数，则小于等于的正整数中，只有的倍数不与互质，
又因为小于等于的正整数中，的倍数有个，
所以．
在小于等于的正整数中，的倍数有个，的倍数有个，
所以．
证明：由知，可得，
则数列的前项和，
所以，
故，
上面两式相减可得
，
所以．
令，
则，
作差得：，
所以，
故，
因为，所以，
所以得证．
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