2024-2025学年十五校教育集团·鄂豫皖五十三校高三（上）联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年十五校教育集团·鄂豫皖五十三校高三（上）联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题：有些实数的相反数是正数，则是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.若复数的实部与虚部相等，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.已知某地区中学生的身高近似服从正态分布，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则它们的大小关系是( )
A. B. C. D.
6.已知实数，满足，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线，若一过焦点的斜率的直线与双曲线交于、两点、在同一支上，且满足，则双曲线的离心率( )
A. B. C. D.
8.函数与函数的图象交点个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，若一点在底面内包括边界移动，且满足，则( )
A. 与平面的夹角的正弦值为
B. 点到的距离为
C. 线段的长度的最大值为
D. 与的数量积的范围是
10.将，，，，，，这七个数随机地排成一个数列，记第项为，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则这样的数列共有个
B. 若该数列恰好先增后减，则这样的数列共有个
C. 若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有个
D. 若，，，则这样的数列共有个
11.已知，，，，，则下列结论中正确的是( )
A. 当时，
B. 当时，有个元素
C. 若有个元素，则
D. 若有个元素，则无整数解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中项的系数是______．
13.已知集合，，均是集合的非空真子集，则以集合，，为元素所构成的集合的个数为______．
14.二阶魔方是一个的正方体，由个角块组成，没有中心块和棱块，结构相对简单若空间中方向不同但状态相同即通过整体旋转后相同的情况只算一种，则任意二阶魔方共有______种不同的状态提示：任选其中个角块作为参考，则其余块能自由排列，在这块中，任意确定块，最后块也就唯一确定了
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
锐角中，角，，所对的边分别为，，，且．
证明：；
求的周长的取值范围．
16.本小题分
已知公差不为的等差数列满足，，，成等比数列．
求的通项公式；
设，求数列的前项之和．
17.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，动直线与椭圆交于，两点：当直线过时，的周长为．
求椭圆的方程；
若直线过点，椭圆的左顶点为，当面积为时，求直线的斜率．
18.本小题分
设函数．
分析的单调性和极值；
设，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；
若，且满足时，证明：．
19.本小题分
某研究团队需要研究成分的性质，以研制一种新药现有瓶待测试剂，这些试剂中的部分含有少量成分，为了更方便的检测出含有成分的待测试剂，该团队设计了以下两个方案：
方案一：对这瓶待测试剂进行逐一检测；
方案二：将这瓶待测试剂分成个小组，每个小组分别将该组的待测试剂混合后检测一次，若未检测出成分，则不再进行检测，若检测出成分，则对该小组的待测试剂进行逐一检测．
已知每瓶待测试剂中含有成分的概率均为，设为方案二某小组的检测次数，为方案二的检测次数的数学期望．
记的最大值为，求证：；
能否认为恒成立？说明理由，并以此说明方案二的合理性；
给出一个能有效减少检测次数的方案，说明理由．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：因为，，
则；
由，得，
故，
因为为锐角三角形，
所以，
即，所以，
则．
所以周长的取值范围为．
16.解：设公差不为的等差数列满足，，，成等比数列，
故，整理得，解得或舍去；
故；
由得：，
故，，
，，
得：，
整理得．
17.解：当直线过时，
则的周长为，
又的周长为，
则，
又，
则，
则，
即椭圆的方程为；
已知直线过点，
设直线方程为，
联立，
消可得：，
由题意可得：，
设，，
则，，
又椭圆的左顶点为，
则面积为，
即，
解得，
则，
即直线的斜率为．
18.解：，定义域为，，
令，即，解得，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，极小值为．
，，
因为，即构造函数，，
则，
可知，若要，必须要求，
即，得，
当，时，恒成立，
在上单调递增，所以恒成立，
故实数的取值范围为．
证明：记，则，
记，，，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
所以，即，
所以函数在单调递减，
则转化为，
注意到，不妨，
要证，只需证，即证：，
即证：，即证：，
记，，
则，
记，
则，所以在单调递增，所以，
即，所以在单调递减，所以，
所以，
所以，得证．
19.解：证明：方案二中某小组的检测次数可能取值为或，
当一次检测中未检测出成分时，检测次数为，概率为，
当一次检测出成分时，再对该小组的瓶逐一检测，检测次数为，概率为，
，
又因为，
所以个小组的检测次数期望为，
要证明，
即证恒成立，
即证，
又因为属于正整数，
所以，
令，，
又，
所以在上单调递减，在单调递增，
所以，，
所以在恒成立，
，当时取等号，
而原题说这些试剂中部分含有少量成分，
则显然，否则该瓶必含有少量成分，与原题矛盾，所以等号不成立；
所以；
能认为恒成立，理由如下：
恒成立，即恒成立，其中，，，，
，即，
设，
因为，则易知离散函数在，上单调递减，
所以，
又因为，，则恒成立；
方案二的合理性：
当较小时，即含有成分的概率较低时，通过分组检测，大部分不含成分的小组可以通过一次混合检测排除，
从而减少检测次数，相比逐一检测，会更节省检测成本和时间．
二分法混合检测：
方案说明：当为奇数时，分为和两份检测，各自混合检测，
再将含有的那部分再分份混合检测，如果遇到奇数瓶时，按照第一次分法即可；
如果遇到偶数瓶时，则分为相同两份检测，依次类推；
当为偶数时，分为和两份检测，各自混合检测，
当为偶数时，按照第一次分法继续分为两份，各自混合检测；
当为奇数时，按照瓶数差为的分法继续分，
即和两份检测，依次类推；
理由：若混合液中未检测出成分，那剩下的试效含有成分的概率会提高，
同时也排除了该混合液对应试剂含有的可能性，更有针对的进行试验，从而减少检测次数．
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