2024-2025学年上海市杨浦区复旦大学附中高一（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年上海市杨浦区复旦大学附中高一（上）月考
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( )
A. 充分条件 B. 必要条件
C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件
2.下列命题正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
3.设，若、是方程的两相异实根，则有( )
A. ， B. ，
C. D.
4.定义集合运算且；将称为集合与集合的对称差，
命题甲：；
命题乙：．
则下列说法正确的是( )
A. 甲乙都是真命题 B. 只有甲是真命题 C. 只有乙是真命题 D. 甲乙都不是真命题
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知集合，用列举法表示 ______．
6.已知集合，集合，则 ______．
7.某班有名同学，参加物理竞赛的有人，参加化学竞赛的有人，两科竞赛都不参加的有人，则两科竞赛都参加的有______人
8.已知集合，集合，若，则 ______．
9.若集合，则满足条件的集合的个数是______．
10.若不等式的解集是，则不等式的解集是______．
11.已知，，则的取值范围为______．
12.记为集合中所有元素之和，对于集合，，则所有之和等于______．
13.若不等式的解集是，则不等式的解集为______．
14.若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
15.对于非空实数集合，记，设非空实数集合满足条件“若，则”且，给出下列命题：
若全集为实数集，对于任意非空实数集合，必有；
对于任意给定符合题设条件的集合，，必有；
存在符合题设条件的集合，，使得；
存在符合题设条件的集合，，使得．
其中所有正确命题的序号是 ．
16.已知集合，集合、、满足：每个集合都恰有个元素；，集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的和为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，．
若，求；
若，求的取值范围．
18.本小题分
已知集合，．
Ⅰ若，求出实数的值；
Ⅱ若命题：，命题：且是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知，关于的不等式的解集为．
求实数的取值范围；
用反证法证明：三个关于的方程，，中至少有一个方程有实数解．
20.本小题分
已知，一个二次项系数为的一元二次方程的两个不等实根分别为和，且满足，
直接写出该一元二次方程；
若，求的取值范围；
若为正整数，记集合，若，且中元素个数不超过，求正整数的取值范围．
21.本小题分
已知集合为非空数集，定义：，．
若集合，直接写出集合、；
若集合，，且，求证：；
若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：因为，
当时，，
则或，
所以或；
因为，则，
当时，，
解得，
当时，由可得，
解得，
综上所述，实数的取值范围是或．
18.解：Ⅰ当时，，
，
解得，
当时，，显然，
故A时，，
Ⅱ命题：，命题：且是的充分不必要条件，
，
，
，
当时，，则或，解得，
当时，，则，解得
综上是的充分不必要条件，实数的取值范围是
19.解：当时，不等式化为，对任意实数恒成立；
当时，要使关于的不等式的解集为，
则，解得．
综上可得，实数的取值范围是；
证明：由知，，
假设方程：，，都没有实数解，
则，
解得：，解得：或，解得．
取交集，可得，与矛盾．
故假设错误，即下三个方程：
，，中至少有一个方程有实数解．
20.解：因为，则，
所以，
所以这个一元二次方程为，即，
即；
因为，
可得，
因为，则，
可得，则，
对于方程，，
可得，
所以，解得或，
因此，实数的取值范围是；
由，可得，
因为集合，，且中元素个数不超过，则，
即，
可得，所以，
所以正整数的可能取值集合为，
当时，方程为，解得，，
则，，，符合题意，
当时，方程为，
解得，，
此时，，，，，符合题意，
综上所述，正整数的取值范围是．
21.解：当，则，．
证明：因为集合，，
且，所以中也只包含个元素，
即，
剩下的元素满足，
所以．
解：设，其中，，
不妨设，
则，
所以，
因为，，
又因为，所以，
中最小的元素为，最大的元素为，，
所以，，
实际上当时满足题意，
证明如下：
设，，
则，，
依题意有，解得，
故的最小值为，于是当时，中元素最多，
即时满足题意，
综上所述，集合中元素的个数的最大值为，
即的最大值为．
第1页，共1页