2024-2025学年四川省成都市嘉祥外国语高级中学高一（上）段考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年四川省成都市嘉祥外国语高级中学高一（上）段考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数的定义域是，则的定义域是( )
A. B. C. D.
3.下列结论正确的有( )
A. 函数的定义域为
B. 函数，的图象与轴有且只有一个交点
C. 函数的图象与直线有且只有一个交点
D. 与是相同函数
4.已知条件：，条件：，且是的充分不必要条件，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了音乐讲座，记是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了音乐讲座的学生用来表示有限集合中元素的个数，若，，，，则( )
A. B.
C. D.
6.若“，”是假命题，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是( )
A. 或 B. 或
C. D.
8.设实数，满足，，不等式恒成立，则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 若，则
B. 命题“，”的否定是“，或”
C. 若，则函数的最小值为
D. 设，，则“”是“”的必要而不充分条件
10.已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是( )
A. 若，则且
B. 若，则关于的不等式的解集也为
C. 若，则关于的不等式的解集为，或
D. 若为常数，且，则的最小值为
11.群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设是一个非空集合，“”是上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：
对所有的、，有；
、、，有；
，使得，有，称为单位元；
，，使，称与互为逆元．
则称关于“”构成一个群则下列说法正确的有( )
A. 关于数的乘法构成群
B. 自然数集关于数的加法构成群
C. 实数集关于数的乘法构成群
D. 关于数的加法构成群
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设全集，集合，若，则实数 ______．
13.已知：，：若，，有且只有一个为真命题，则实数的取值范围是______．
14.设，若时，均有成立，则实数的取值集合为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，，．
当时，求．
若，求范围．
16.本小题分
如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：．
证明糖水不等式；
已知，，是三角形的三边，求证：．
17.本小题分
高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称函数成为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，．
求的解集和的解集．
若的解集为，求的取值范围．
18.本小题分
对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点．
求二次函数的不动点；
若二次函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值．
若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围．
19.本小题分
数学中有一种推理的方法叫“类比推理”，类比推理是根据两个对象有部分属性相同，从而推出其它属性也相同的推理这是一种特殊到特殊的推理，推理的结果不一定正确，需要证明方可使用比如：我们可以通过对二元二次不等式：的不同理解，推理出不同的结果：
如果我们把不等式的右边看成的两个齐次式，那我们可以推理出二元三次不等式：，
如果我们把不等式的右边看成数字与相乘，那我们可以推理出三元三次不等式：，
请结合上文中的推理结果，证明中的“三元三次不等式”：．
已知函数．
解不等式；
利用的结论，对任意，恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：时，，．
则，
因为，
所以．
若，
时，，解得，，
此时，，．
时，，又，故，
此时，则，
所以，
综上：的范围为或．
16.证明：．
，，，，
，即．
，，是三角形的三边，，
由知，
同理，
，
原不等式成立．
17.解：由题意得，且，
由，得，所以，
所以的解集为；
由，得，
解得，则，所以．
所以的解集为．
不等式，即，
若，不等式为，
即，所以，显然不符合题意；
若，，
由，解得，
因为不等式的解集为，
所以，解得，
若，，
由，解得，
因为不等式解集为，
所以，解得．
综上所述，或．
即的取值范围是．
18.解：由题意知：，，，
解得，，所以不动点为和．
依题意，有两个不相等的正实数根，
即方程有两个不相等的正实数根，
所以，解得，
所以，
因为，所以，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为．
由题知：，
所以，由于函数恒有不动点，
所以，即，
又因为是任意实数，所以，
即，解得，
所以的取值范围是．
19.解：证明：当，，时，
，
因为，，
所以，
又因为，
所以，
当且仅当时等号成立，
得证的推理结果，
同理有，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
三式相加可得：
，
又因为，，，
所以，
两边同时除以，得，当且仅当时等号成立，
所以；
，由，得，，
即，
则有，
解得或或，
所以不等式解集为；
因为当时，，
当且仅当，即，时等号成立，
所以当时，，
又因为对任意，恒成立，
则，
所以，
即，
解得．
所以实数的取值范围为．
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