2024-2025学年江苏省南京市金陵中学高一（上）学情调研数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年江苏省南京市金陵中学高一（上）学情调研
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，，集合，集合，若，则的值为( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.设，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.满足的集合的个数为( )
A. B. C. D.
5.设全集，，，则集合为( )
A. B. C. D.
6.若，，且，则下列不等式中，恒成立的是( )
A. B. C. D.
7.已知关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D. ，
8.设集合，，若中恰含有个整数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
10.下列叙述正确的是( )
A. 已知，，是实数，则“”成立的充分不必要条件是“”
B. “”是“”的充分不必要条件
C. “且”是“”的充分不必要条件
D. “”是“”的必要不充分条件
11.关于的不等式成立的必要不充分条件是，则下列叙述正确的是( )
A. 的最小值为
B. 关于的不等式的解集为
C. 关于的不等式的解集中整数解最少个
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，且，则集合 ______．
13.某公司一年需购买某种货物吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为万元，一年的总存储费用数值等于每次的购买吨数数值，则每次购买该种货物的吨数是______时，一年的总运费与总存储费用单位：万元之和最小，最小值是______万元．
14.已知当时，不等式恒成立，则实数 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，求的最大值；
证明：若，，则并写出等号成立的条件．
16.本小题分
已知不等式的解集为，不等式的解集为，集合．
设全集，求集合；
设集合，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数．
已知关于的不等式的解集为，若存在，使关于的不等式有解，求实数的取值范围；
解关于的不等式．
18.本小题分
实验室需要制作带盖的长方体铁皮容器，如图所示．
若要求长方体铁皮容器的容积为，高为，求底面边长为何值时，用料最少？
已经制作好的、、、四个长方体铁皮容器，其中、的底面积都是，高分别是，，、的底面积都是，高分别为，其中，现甲、乙两人做游戏，每人每一次都从四个容器中取两个，以所取容器盛水总和多者为胜，若甲先取，问甲有没有必胜的方案，若有的话是什么方案，并证明你的结论；若没有的话，说明理由．
19.本小题分
已知集合为非空数集，定义：，．
若集合，直接写出集合，；
若集合，，且，求证：；
若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值．
参考答案
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15.解：，，
当且仅当，即时取等号，此时上式取得最大值；
证明：若，，则，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
所以，等号成立的条件为．
16.解：不等式的解集为，
不等式的解集为，
则集合，
又全集，则集合或；
因为集合，且“”是“”的必要条件，
所以“”是“”的充分条件，即；
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
17.解：因为不等式的解集为，所以、是方程的解，
所以，且；
解得；
所以存在，使关于的不等式有解，
即，解得，
当时，取得最小值为，
所以实数的取值范围是；不等式可化为，
即，
当时，不等式为，解得；
当时，不等式为，解得；
当时，不等式为，
若，则不等式为，解得；
若，则，解不等式得或；
若，则，解不等式得或；
综上，时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为或；时，不等式的解集为或
18.解：设长方体的长和宽分别为，，
则，
而长方体的表面积为：，
当且仅当时等号成立，
故当时，用料最省；
甲有必胜的方案，证明如下：
由题设有的体积为，的体积为，的体积为，的体积为，
若甲先取，甲有必胜的的方案，方案如下：
若，则，此时甲先取，则所取容器盛水总和最多，故甲此时获胜；
若，则，此时甲先取，则所取容器盛水总和最多，
故甲此时获胜．
19.解：由，的定义，可得，；
证明：取，则，而，且，故，又，
而，均为中元素且非零，故，
即，故；
设，其中，，
不妨设，则，
所以，因为，，
又因为，所以，中最小的元素为，最大的元素为，
，
所以，，
实际上当时满足题意．
证明如下：设，，
则，，
由题意可得，解得，故的最小值为，
于是当时，中元素最多，
即时满足题意．
综上，可得集合中元素的个数的最大值为．
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