2024-2025学年吉林省长春市长春六中高二（上）月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年吉林省长春六中高二（上）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线：与直线垂直，则直线的斜率等于( )
A. B. C. D.
2.设是直线，，是两个不同平面，则下面命题中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，则
3.直线在轴上的截距为；直线的倾斜角为；直线必过定点；两条平行直线与间的距离为以上四个命题中正确的命题个数为( )
A. B. C. D.
4.点与圆的位置关系为( )
A. 点在圆外 B. 点在圆内 C. 点在圆上 D. 与的值无关
5.已知某样本的容量为，平均数为，方差为，现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将记录为，另一个错将记录为在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则( )
A. B. C. D.
6.圆：关于直线对称的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
7.已知，，动点在直线上，当取最小值时，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
8.在中，角，，所对的边分别为，，，记的面积为，已知，，，求外接圆半径与内切圆半径之比为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.假定生男孩和生女孩是等可能的，若一个家庭中有三个小孩，记事件“家庭中没有女孩”，“家庭中最多有一个女孩”，“家庭中至少有两个女孩”，“家庭中既有男孩又有女孩”，则( )
A. 与互斥 B. C. 与对立 D. 与相互独立
10.下列说法错误的是( )
A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B. 直线的倾斜角的取值范围是
C. 过，两点的所有直线的方程为
D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
11.如图，已知正方体的棱长为，为底面内包括边界的动点，则下列结论正确的是( )
A. 存在点，使平面
B. 三棱锥的体积为定值
C. 若，则点在正方形底面内的运动轨迹长为
D. 若点是的中点，点是的中点，过，作平面平面，则平面截正方体的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆：，以圆心和为直径的圆的标准方程是______．
13.甲问乙：“您有几个孩子”，乙说：“四个”此时，一男孩过来、乙对甲说：“这是我小孩”，接着乙对该男孩说：“去把哥哥姐姐都叫来，你们四人一起跟甲去趟学校”根据上述信息，结合正确的推理，最多需要猜测 次，才可以推断乙的四个小孩从长到幼的正确性别情况；第次才猜对的概率为 ．
14.甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环小组赛，比赛分三轮，每轮两场比赛，具体赛程如下表：
第一轮 甲乙 丙丁
第二轮 甲丙 乙丁
第三轮 甲丁 乙丙
规定：每场比赛获胜的球队记分，输的球队记分，平局两队各记分，三轮比赛结束后以总分排名总分相同的球队以抽签的方式确定排名，排名前两位的球队出线假设甲、乙、丙三支球队水平相当，彼此间胜、负、平的概率均为，，丁的水平较弱，面对其他任意一支球队胜、负、平的概率都分别为，，每场比赛结果相互独立求：
丁的总分为分的概率为______；
若第一轮比赛结束，甲、乙、丙、丁四支球队积分分别为，，，，求丁以分的成绩出线的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知坐标平面内两点，．
当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围；
若直线的方向向量为，求的值．
16.本小题分
在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知向量，，且．
求角的大小；
若，求的取值范围．
17.本小题分
漳州古城有着上千年的建城史，是国家级闽南文化生态保护区的重要组成部分，并人选首批“中国历史文化街区”五一假期来漳州古城旅游的人数创新高，单日客流峰值达万人次为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了名游客，该兴趣小组将收集到的游客满意度分值数据分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值，并估计名游客满意度分值的众数和中位数结果保留整数；
已知满意度分值落在的平均数，方差，在的平均数为，方差，试求满意度分值在的平均数和方差．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，为的中点．
求证：平面；
求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
记向量的相伴函数为，若，且求的值；
设，试求函数的相伴特征向量，并求出与方向相同的单位向量；
已知，，为函数的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
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15.解：因为倾斜角为锐角，则，而，
即，解得：，
所以的范围为；
直线的方向向量为，可得，
解得：．
16.解：，所以，
由正弦定理得，
，
，由，
，由于，因此，
所以，由于，；
由，
，，，
，，
．
的取值范围为．
17.解：由频率分布直方图可得，，
解得，
由频率分布直方图可估计众数为，
满意度分值在的频率为，
在的频率为，
所以中位数落在区间内，
所以中位数为；
由频率分布直方图得，满意度分值在的频率为，人数为，
在的频率为，人数为，
所以满意度分值在的平均数，
满意度分值在的方差．
18.解：过作于点，则，以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
为的中点，
，，．
设平面的法向量为，则，
令，则，，，
，即，
又平面，平面．
由知，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，，
，．
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
令，，设，
，，
．
由知，平面的法向量为，
直线与平面所成角的正弦值为，
，化简得，即，
，，
故．
19.解：由题知，向量的相伴函数为，
当时，，
，则，所以，
所以
；
因为
，
故函数的相伴特征向量，
则与方向相同单位向量为；
因为函数的相伴特征向量，
所以，
，
设点，又，，
所以，
若，则，
即，，
因为，故，
又，故当且仅当时，成立，
故在的图象上存在一点，使得．
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