2024-2025学年福建省厦门外国语学校高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年福建省厦门外国语学校高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，且，则( )
A. B. C. D.
3.在空间四边形中，，，，且，，则( )
A. B.
C. D.
4.已知直线：和直线：，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.已知二面角的棱上有，两点，直线，分别在平面，内，且它们都垂直于若，，，，则异面直线与所成角为( )
A. B. C. D.
7.我校钱学森班有同学发现：数轴上，方程可以表示数轴上的点；平面直角坐标系中，方程、不同时为可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系中，方程、、不同时为可以表示坐标空间内的平面过点且一个法向量为的平面的方程可表示为根据上述材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
8.我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题已知点在直线：，点在直线：上，且，结合上述观点，的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题不正确的是( )
A. 已知直线与直线垂直，则实数的值是
B. 设点在直线上，则这条直线的方程还可以表示为
C. 若是空间向量的一组基底，则也是空问向量的一组基底
D. 向量在向量上的投影向量为
10.对于直线：，下列选项正确的是( )
A. 直线恒过点 B. 当时，直线与轴上的截距为
C. 若直线不经过第二象限，则 D. 坐标原点到直线的距离的最大值为
11.在长方体中，，，点满足：，其中、、，下列结论正确的是( )
A. 当，时，到的距离为
B. 当时，点到平面的距离的最大值为
C. 当，时，直线与平面所成角的正切值的最大值为
D. 当，时，四棱锥外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在平行六面体中，，，，，，则 ______．
13.过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段恰好被点平分，则直线的一般式方程为______．
14.已知实数，，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在直四棱柱中，，，，，，分别为棱，，的中点．
求的值；
证明：，，，四点共面．
16.本小题分
已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为．
求点的坐标；
求直线的一般式方程；
求的面积．
17.本小题分
如图所示，在三棱柱中，四边形为菱形，，平面平面，，，为的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求平面与平面所成角的大小．
18.本小题分
已知点和非零实数，若两条不同的直线，均过点，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线：和是一组“共轭线对”，其中是坐标原点．
已知，是一组“共轭线对”，且直线：，求直线的方程；
已知点、点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线，，上的点与，，均不重合，且直线，是“共轭线对”，直线，是“共轭线对”，直线，是“共轭线对”，求点的坐标；
已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线，的距离之积的取值范围．
19.本小题分
如图所示，矩形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图的四棱锥，为中点．
求证：平面；
若平面平面，求直线与平面所成角的大小；
设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．
参考答案
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15.解：以点为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，．，．
．
证明：．
令，根据向量的坐标的对应关系，整理得，
解得，所以．
故C，，，四点共面．
16.解：根据题意，点在的平分线上，由此设，
则的中点为，
因为点在直线：上，所以，解得，
所以点的坐标为．
设关于的对称点为，
由，解得，
所以直线的方程为：，即，
根据直线与直线关于直线对称，可知直线的方程即直线的方程，
所以直线的方程是．
由，解得，即直线与直线交于点，
所以，
因为点到直线：的距离，
所以的面积．
17.Ⅰ证明：四边形为菱形，，，
，得，
又平面平面，平面平面，平面，平面，
又，平面；
Ⅱ取的中点， 的中点，连接，，
平面，，
平面，又，平面，
得，，
又四边形为菱形，，是的中点，，
故，，两两互相垂直．
以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
，，，，
由图可知，平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，取，得．
设平面与平面所成角的大小为，
则，
又，，
故平面与平面所成角的大小为．
18.解：由已知得，且，所以，
所以直线的方程为．
设直线，，的斜率分别为，，，
则解得或，
又三条直线的倾斜角均为锐角，所以，，，
故直线的方程为，直线的方程为，联立可得．
设：，：，其中，
原点到直线，的分别为，，
故
．
由于等号成立的条件是，
故，
19.证明：取中点，连接，，
由为中点，得，，
依题意，，，
则，，
于是四边形是平行四边形，则，
而平面，平面，
所以平面；
解：取中点，连接，由，得，
而平面平面，平面平面，平面，
则平面，
过作，则平面，
又，平面，于是，，
在矩形中，，，则，
以点为原点，，，所在直线分别为，，轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成角的大小为；
解：连接，由，得，
而，则为的平面角，即，
过点作平面，以为坐标原点，
，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
显然平面，平面，则平面平面，
在平面内过作于点，则平面，
设，而，
则，，，
即，，
所以，
于是，，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
设平面的一个法向量为，
因为，，
则，令，得，
设平面和平面的夹角为，
则
，
令，则，
即，则当时，有最小值，
所以平面和平面夹角余弦值的最小值为．
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