2024-2025学年江苏省苏州中学高一（上）第一次质检数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省苏州中学高一（上）第一次质检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题：，，则是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
2.已知，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
3.已知，为实数，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.小王从甲地到乙地往返的时速分别为和，其全程的平均时速为，则( )
A. B.
C. D.
5.已知命题：，都有，命题：存在，，若与不全为真命题，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. 或 D. 或
6.已知集合，，且，则集合的子集个数为( )
A. B. C. D.
7.若，则下列结论中正确结论的个数为( )
；
；
若，，则；
若，且，则；
存在且，满足．
A. B. C. D.
8.关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，，若，则实数的值可以是( )
A. B. C. D.
10.若关于的不等式的解集为，则的值可以是( )
A. B. C. D.
11.对任意，，记，并称为集合，的对称差例如，若，，则，下列命题中，为真命题的是( )
A. 若，且，则
B. 若，且，则
C. 若，且，则
D. 存在，，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，若，则 ______．
13.已知，，则的取值范围为______．
14.定义集合的“长度”是，其中，已如集合，，且，都是集合的子集，那么集合的“长度”的最小值是 ；若，集合的“长度”大于，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求下列不等式的解集：
；
；
．
16.本小题分
已知集合，．
若，求实数的取值范围；
若将题干中的集合改为，是否有可能使命题：“，都有”为真命题，请说明理由．
17.本小题分
桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围阴影部分所示种植桑树，池塘周围的基围宽均为米，如图，设池塘所占总面积为平方米．
Ⅰ试用表示；
Ⅱ当取何值时，才能使得最大？并求出的最大值．
18.本小题分
已知函数的图像为．
若图像恒在直线下方不包括直线，求的取值范围；
求图像在直线上以及直线上方的点的横坐标的取值范围用表示；
当自变量满足时，函数值恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
已知集合，，，若，，或，则称集合具有“包容”性．
判断集合和集合是否具有“包容”性；
若集合具有“包容”性，求的值；
若集合具有“包容”性，且集合的子集有个，，试确定集合．
参考答案
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15.解：可化为，即，
解得，所以不等式的解集为；
可化为，
即，等价于，
解得或或，
所以不等式的解集为或或；
当时，不等式可化为，解得；
当时，不等式可化为，解得，不合题意，舍去；
综上，不等式的解集为．
16.解：因为，
所以或或，解得或或，
故实数的取值范围为
若，，
对，都有，则，
所以，
该不等式组无解，
故命题：“，都有”为真命题不可能．
17.解：由题可得：，则，即
．
，当且仅当，即时，取等号，
时，取得最大值，此时．
18.解：由题意可得，
即恒成立，
当时，不等式为，解得，显然不是恒成立，
所以要满足条件，可得：，
即，
解得，
所以的范围为；
由题意可得：，
整理可得：，
分解因式可得，
当，即时，不等式可得，
解得，这时不等式的解集为；
当时，不等式为，
方程的根为，，
而，
因为，所以，所以，
所以不等式的解集为或；
当时，不等式，
因为，
所以不等式的解集为；
综上所述：时，横坐标的范围为；
时，横坐标的范围为或；
时，横坐标的范围为；
因为时，函数值恒成立，
即，
可得在恒成立，
只需要，
设，，可得，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以．
即的范围为．
19.解：集合中的，，
所以集合不具有“包容”性，
集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合，
所以集合具有“包容”性；
已知集合具有“包容”性，记，则，
易得，从而必有，
不妨令，则，且，
则，
且，
当时，若，得，此时具有包容性；
若，得，舍去；若，无解；
当时，则，由且，可知无解，
故B．
综上，；
因为集合的子集有个，所以集合中共有个元素，且，又，且中既有正数也有负数，
不妨设，
其中，，，
根据题意，
且，
从而或．
当时，，
并且由，得，由，得，
由上可得，并且，
综上可知；
当时，同理可得
综上，中有个元素，且时，符合条件的集合有个，
分别是，，，或．
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