2024-2025学年重庆市渝北区松树桥中学高二（上）第一次质检数学试卷（含答案）

2024-2025学年重庆市渝北区松树桥中学高二（上）第一次质检
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
2.已知空间向量，且，则( )
A. B. C. D.
3.设是直线的方向向量，是平面的法向量，则( )
A. 或 B. 或 C. D.
4.已知，，三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与，，三点共面，则等于( )
A. B. C. D.
5.已知三点，，共线，则( )
A. B. C. D.
6.如图，在平行六面体中，点，分别为，的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
7.已知，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.如图所示，正方体的棱长为，点，，分别为，，的中点，则下列说法正确的是( )
A. 直线与直线垂直
B. 直线与平面平行
C. 三棱锥的体积为
D. 直线与平面所成的角为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是( )
A.
B.
C.
D.
10.已知，，是空间的一个基底，则下列说法正确的是( )
A.
B. 若，则
C. 在上的投影向量为
D. ，，一定能构成空间的一个基底
11.如图，边长为的正方形所在平面与正方形在平面互相垂直，动点，分别在正方形对角线和上移动，且，则下列结论中正确的有( )
A. ，使
B. 线段存在最小值，最小值为
C. 直线与平面所成的角恒为
D. ，都存在过且与平面平行的平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.点关于平面对称点是______．
13.已知空间直角坐标系中的三点、、，则点到直线的距离为______．
14.在正三棱锥中，是的中心，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线经过两点，，同当取何值时；
直线与轴平行？
直线斜率不存在；
直线的倾斜角为锐角？
16.本小题分
如图，在平行六面体中，，．
求体对角线的长度；
求证：四边形为正方形．
17.本小题分
如图，在多面体中，，，侧面为矩形，平面，平面．
求直线与平面所成角的正弦值；
求点到平面的距离．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，三棱锥的体积为．
求点到平面的距离；
若，平面平面，点在线段上，，求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
如图，已知正方形的边长为，，分别为，的中点，沿将四边形折起，使二面角的大小为，点在线段上．
若为的中点，且直线与直线的交点为，求的长，并证明直线平面；
是否存在点，使得直线与平面所成的角为，若存在，求此时二面角的余弦值，若不存在，说明理由．
参考答案
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15.解：直线经过两点，，
若直线与轴平行，则斜率，所以．
若直线与轴平行，则斜率不存在，所以．
由题意可知，斜率，即，解得．
16.解：在平行六面体中，
，
由，，
得，
所以
；
证明：在平行六面体中，
，，故四边形为平行四边形，
由，，得是等边三角形，
即，则平行四边形为菱形，
又，
则，即，
所以四边形为正方形．
17.解：因为侧面为矩形，所以，
因为平面，，平面，
所以，，即直线，，两两垂直，
故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，得，
设直线与平面所成角为，
则，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
由知，平面的法向量为，，
所以点到平面的距离为．
18.解：设点到平面的距离为，
则，
由题可知，
所以，
故到平面的距离为；
取的中点，连接，因为，所以，
又平面平面，平面平面，
平面，，所以平面，
由知，由题意可得，
所以，故AD，
法一坐标法：以点为坐标原点，为轴，为轴，
过点作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
依题意，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，
令，得，
又平面的法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面的夹角的余弦值为；
法二几何法：在线段上取点，使得，连接，
过点作，垂足为，连接，
因为，所以，
，，
因为平面，所以平面，
所以，又，且，
所以平面，又平面，
所以，
所以是二面角的平面角，
在中，易知，
所以，，
所以，
故平面与平面的夹角的余弦值为．
19.解：因为，分别为，的中点，
则，
又为的中点，
则为的中点，
故，
连接，，交于点，连接，
因为四边形为平行四边形，
所以为的中点，又为的中点，
则，
又平面，平面，
故平面；
因为，
所以，，
因为，平面，，
所以平面，
又平面，
则平面平面，
取的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
所以，
则，
设，
则，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
故，
因为直线与平面所成的角为，
所以，即，解得或，
故存在点，使得直线与平面所成的角为，
设的中点为，则，
所以为平面的法向量，
故，
设二面角的平面角为，
当时，，此时平面平面，
则当时，为钝角，所以；
当时，为锐角，所以．
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